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Análise Matemática – Fundamentos II

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— 1.2. Axiomas de Ordem —

Como vimos no artigo anterior os cinco axiomas (e as definições) por nós escolhidos são suficientes para demonstrarmos rigorosamente um conjunto de resultados que suponho ser do conhecimento geral de muitos leitores deste blog.

No entanto para continuarmos a construir o conjunto dos números reais de forma completa precisamos de introduzir os chamados Axiomas de Ordem.

Axioma 6 O conjunto dos números reais positivos, {\mathbb{R^+}}, é um subconjunto dos números reais, que é fechada para as operações { + } e {\cdot}.

\displaystyle   \mathbb{R}^{+} \subset \mathbb{R}: \forall x, y \in \mathbb{R}^{+} x + y \in \mathbb{R}^{+} \ \ \ \ \ (6)

\displaystyle   \mathbb{R}^{+} \subset \mathbb{R}: \forall x, y \in \mathbb{R}^{+} x\cdot y \in \mathbb{R}^{+} \ \ \ \ \ (7)

Após a definição anterior podemos definir números negativos como sendo os simétricos de números reais positivos. Dito de uma forma mais formal:

Definição 2 O conjunto dos números reais negativos denota-se por {\mathbb{R}^{+}}. Dizemos que um número real é negativo quando o seu simétrico é um número real positivo.

\displaystyle   x \in \mathbb{R}^{-} \Leftrightarrow -x \in \mathbb{R}^+ \ \ \ \ \ (8)

Seguidamente vamos apresentar um teorema que nos permite agrupar os números reais existentes em três conjuntos disjuntos cuja união resulta na totalidade dos números reais.

Axioma 7 (Lei da Tricotomia) Um número real diferente de {0} só pode ser um número real positivo ou um número real negativo.

\displaystyle   x \in \mathbb{R} \setminus \{0 \} \Rightarrow x \in \mathbb{R}^{+} \lor \mathbb{R}^{-} \ \ \ \ \ (9)

Numa formulação perfeitamente equivalente podemos dizer: Nenhum número real é positivo e negativo ao mesmo tempo:

\displaystyle  \mathbb{R}^{+} \cap \mathbb{R}^{-} = \emptyset

Neste momento estamos em condições de introduzir uma definição formal dos símbolos {> } e { <}.

Definição 3 Seja { x, y \in \mathbb{R} }. Dizemos que { x } é menor do que { y } se e somente se (sse) { y-x \in \mathbb{R}^{+} } e escrevemos { x < y } ou { y> x }.

Teorema 6 (Teorema da Tricotomia) { \forall x, y \in \mathbb{R} } uma e apenas uma das seguintes condições é sempre verificada: { x> y }, { x <y }, { x = y }

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Com este teorema conseguimos demonstrar rigorosamente que entre dois números reais é sempre possível estabelecermos uma relação de ordem. Tal facto parece trivial e tautológico, mas lembrem-se que aqui o que importa é o facto de ser possível demonstrarem-se estes tipos de resultados. Para além disso convém também dizer que é possível construir sistemas numéricos onde nem sempre é possível estabelecer relações de ordem entre os seus elementos.

Teorema 7 (Teorema da Transitividade)

\displaystyle   \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad x <y, y <z \Rightarrow x <z \ \ \ \ \ (10)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

A demonstração deste teorema é uma questão de técnica e o leitor mais atento deste blog faria bem em tentar executá-la e posteriormente partilhá-la nos nossos comentários.

Qualquer conjunto onde são válidos o Teorema da Tricotomia e as leis de transitividade diz-se ser um conjunto ordenado. Então podemos dizer que { \mathbb{R} } é um corpo ordenado.

Teorema 8 { \forall x, y \in \mathbb{R}: \, x <y }

\displaystyle   z \in \mathbb{R} \Rightarrow x + z <y + z \ \ \ \ \ (11)

\displaystyle   u, v \in \mathbb{R}: \, u <v \Rightarrow x + u <y+v \ \ \ \ \ (12)

\displaystyle   z> 0 \Rightarrow x\cdot z <y\cdot z \ \ \ \ \ (13)

\displaystyle   z <0 \Rightarrow x\cdot z> y\cdot z \ \ \ \ \ (14)

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Vamos agora olhar com mais atenção para os únicos dois números reais que nomeamos até agora: o número {0} e o número {1}. Sabemos pelo 4 que estes elementos são distintos (sem essa imposição o conjunto dos números reais poderia ser composto por apenas um elemento, e essa opção é francamente não satisfatória para nós…) e sabemos também pelo Teorema 6 que um dos números tem que ser maior do o outro. Mas qual deles? Com todas as definições que fizemos até agora essa pergunta não tem resposta. No entanto temos ao dispor a ferramenta da demonstração e com ela podemos demonstrar que {0 <1}. Que é uma opção muito mais poderosa do que simplesmente definir {0 <1}.

Vamos supor, por absurdo, que { 1 <0 } é a proposição válida. Nesse caso, multiplicando ambos os lados da desigualdade por { 1 } teríamos (usando a equação 14 do teorema 8):

{1\cdot 1 > 1\cdot 0 \Rightarrow 1> 0 }

que é o oposto do que tínhamos assumido inicialmente. Uma vez que todos os passos lógicos após a nossa hipótese inicial ({ 1 <0 }) são logicamente válidos temos que concluir que a nossa hipótese inicial estava errada. Assim é { 1> 0 }.

Seguindo essa linha de pensamento, poderíamos continuar a construir os números naturais ({ 1 + 1> 1 } e definir { 2=1 + 1 }. Então { 1 + 1 + 1> 1 + 1 = 2 } e definir { 3=1 + 1 + 1}). Após continuarmos dessa forma podemos definir os números inteiros. Em primeiro lugar teríamos que definir { -1 }, { -2 }, { -3 }, etc. como os simétricos dos números naturais e definir o conjunto dos números inteiros como a reunião dos números naturais, com os recém-definidos { -1 }, { -2 }, { -3 },etc.. Posteriormente poderíamos também construir o conjunto dos números racionais, uma construção mais complexa na verdade, mas que ainda assim é perfeitamente exequível.

O conjunto dos números naturais é denotado por { \mathbb{N} }, os números inteiros por { \mathbb {Z} }, e os números racionais por { \mathbb {Q} }. As seguintes relações são válidas: { \mathbb{N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb{R} }.

Não querendo ser demasiado rigorosos, podemos ver que nem todos os números inteiros são números naturais e que nem todos os números racionais são números inteiros. Mas existirá alguma diferença entre o conjunto { \mathbb {Q} } e o conjunto { \mathbb{R} }?

Por exemplo, sabemos que { x = \sqrt {2} \in \mathbb{R} }, mas { x = \sqrt {2} \notin \mathbb {Q} }! Os matemáticos sabiam deste facto mas não havia uma distinção formal entre os dois conjuntos. Tudo isso mudou com a introdução do Axioma da Completividade.

Com esta nova concepção os matemáticos foram capazes de definir completamente o conjunto dos números reais e assim deram mais um passo na busca de bases mais rigorosas para a construção da sua actividade.

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