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Vamos falar de números

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Neste artigo pretendemos contar uma história concisa e aperfeiçoada de como e porquê os números apareceram na civilização humana. Por favor não esperem que este artigo seja um relato factual de todas as dificuldades e atribulações que acompanharam o processo. Por exemplo, não nos focaremos em apontar todos os equívocos que atormentaram a concepção dos números negativos durante larga parte da história, nem vamos expor de forma detalhada como números complexos entraram em cena. Aqui, a história não terá falsos começos, nem becos sem saída e tudo fluirá de forma perfeita e racional.

— 1. Operações —

Vamos primeiro introduzir o conceito de uma operação. Para nós, uma operação é um processo onde efectuamos una acção num dado conjunto de números e cujo resultado final é outro número.

Seguidamente vamos somente listar (e não definir) as operações inicialmente consideradas.

  • Adição: é representada pelo símbolo { + }, e simbolicamente é { a + b = c }.
  • Subtracção é definida como a operação inversa de adição e é representada pelo símbolo { - }. Dizemos { c-b = a } se e só se { a + b = c }.
  • Multiplicação é representada pelo símbolo { \times } ou { \cdot } e também associa dois números iniciais a um terceiro: { a \times b = c }.
  • Divisão é a operação inversa da multiplicação e é representada pela símbolo { / }. Dizemos que { c / b = a } se e só se { c = a \times } b. Outra forma de representar { c / b } é pelo símbolo { \dfrac {c}{b} }.

Felizmente para nós,estas não são as únicas operações disponíveis, mas por enquanto são tudo o que precisamos.

Alguns leitores podem estar surpreendidos com o nível de abstração que utilizamos e com o facto de que ainda não sabermos realmente o que de facto são esses números. Para esses leitores dizemos que em Matemática esta é a maneira normal de apresentar as coisas (na verdade a minha exposição carece de algum rigor). Sim, daqui em diante a nossa exposição será um pouco mais descontraída (o que certamente não será de agrado a pessoas com uma exigência maior perante o rigor matemático), mas queríamos dar um pequeno vislumbre do que é a normal exposição destes temas em meios mais formais.

— 2. Números —

Bem, vamos então falar sobre números. Os primeiros números que vamos considerar são os chamados números naturais. O símbolo que os denota é { \mathbb{N} } e historicamente apareceram devido à necessidade de enumerarmos quantos objetos de uma determinada classe possuímos:

\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6, \ldots

Onde os símbolos { \ldots } denotam que a lista destes números não termina. Notem que incluímos o número { 0 } nesta lista. A história do número {0} é fascinante e recomendo aos nossos leitores a investigá-la.

— 2.1. Operações com números naturais —

A fim de amenizar o nível de abstração que utilizamos aquando da introdução de operações matemáticas vamos ver como utilizá-las com números naturais e quais são os seus resultados.

  • Adição. No caso especial dos números naturais a adição

    \displaystyle M + n = p

    pode ser interpretada do seguinte modo:

    { M } é o número onde começamos e { n } é o número de passos que damos e {p} é o número onde paramos após dar os {n} passos.

    { 0 } é o mesmo que não dar nenhum passo, { 1 } é o que definimos como dar um passo, e os números naturais que se seguem são definidos em relação a { 1 }. Por exemplo: nós definimos { 2 = 1 + 1 } e assim nós interpretamos { n + 2 } como dar um passo e mais um passo a partir de ponto de { n }. Todos os números naturais que se seguem têm as definições e interpretações que os leitores esperam.

  • Subtração é a operação inversa da adição. Podemos ver , { m + n } como sendo um trajecto que se inicia em { m } dando { n } passos para a direita. Assim { m-n } pode ser visto como sendo um trajecto que se inicia em { m } dando { n } passos para a esquerda.
  • Multiplicação é definida como sendo adições consecutivas. Com isso queremos dizer que podemos interpretar { 2 \times 3 } como sendo { 2 + 2 + 2 } e { 3 \times 2 } como sendo { 3 + 3 }. Como podemos ver temos { 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 }. Em geral, podemos dizer que, para cada número natural é { m \times n = n \times m = p }
  • Divisão é a operação inversa da multiplicação e, portanto, pode ser vista como subtracções consecutivas.Por exemplo, vamos calcular { 6/2 }.Temos { 6-2 = 4 }. Agora vamos pegar no resultado e subtrair { 2 } enquanto for possível.{ 4-2 = 2 } e { 2-2 = 0 }. Visto que foi possível efectuar três subtrações e o resultado final foi { 0 } dizemos que { 6/2 = 3 } com o resto { 0 }.Outro exemplo é { 7/3 }. Desta vez é { 7-3 = 4 }, { 4-3 = 1 } e aqui não podemos continuar. Visto que fizemos duas subtrações e o resultado final foi { 1 } dizemos que {7} a dividir por {3} é igual a {2} com resto {1}.

A beleza inerente a este conjunto de números e às quatro operações definidas é que agora todo um reino novo de coisas interessantes e úteis brotam de forma gratuita. Tudo o que precisamos fazer é pensar e ser ambiciosos.

Em primeiro lugar vamos olhar com mais atenção para as operações inversas e os seus resultados e ver o que advém da sua utilização de forma ambiciosa.

— 3. Mais tipos de números… —

— 3.1. Os números negativos —

Primeiro vamos olhar para a subtração quando aplicada aos números naturais. Os números naturais são { \mathbb{N} = \left \lbrace 0,1,2,3,4, \ldots \right \rbrace }. Por exemplo { 7-2 = 5 } e { 10000-1000 = 9000 }. Esta noção de operação inversa da adição parece funcionar muito bem. No entanto, não precisamos ir muito longe para encontrar alguns possíveis problemas. Calculemos por exemplo { 3-7 }. No nosso actual sistema de números não podemos ir sete passos para a esquerda, a partir de três. Mas, naturalmente, queremos que a subtração seja uma operação que esteja sempre definida.

Assim sendo a única opção viável é introduzir números ao conjunto de números que estávamos a considerar até agora. Definimos { -1 = 0-1 } e { -2 = -1-1 }, { -3= -1-1-1 }, E assim por diante. Agora subtração é sempre possível. Por exemplo, o anteriormente problemático, { 3-7 } fica igual a { -4 } e o novo sistema de números com que acabamos por ficar é { \mathbb{Z} = \ldots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ldots }. A este conjunto damos o nome de números inteiros.

Além de fazerem com que a operação de subtracção seja sempre possível os números negativos podem ser utilizados para representar dívidas, alturas abaixo de um nível de referência, etc.

— 3.2. Números racionais —

Depois de termos obtido um novo conjunto de números através da subtração vamos agora construir um novo subconjunto de números, com o fim de tornar a divisão uma operação uma operação bem definida , desde que divisor seja diferente de {0}.

Agora, os casos problemáticos são { \dfrac{m}{n} } com { n> m }. Vamos supor que temos sete pães para dividir por 10 pessoas. Como você faria isso? Se nos limitarmos a números em { \mathbb{Z} } os pães não podem ser divididos. Assim, para tornar a divisão sempre possível (problema que certamente não carece de motivação prática), temos de aumentar ainda mais o conjunto dos números que estão disponíveis para nós. Estes novos números são chamados de números fracionários. Para o conjunto que é formado pela união do conjunto números fracionários e o conjunto de números inteiros ({ \mathbb{Z} }) nós damos o nome de números racionais { \mathbb{Q} }.

Assim, por exemplo, imaginemos que tem um só pão e você quer compartilhá-lo entre você e dois amigos. Basta simplesmente dividir o pão em três pedaços iguais e já está! O número que representa este processo é { \frac{1}{3} }. Uma das coisas desconcertantes sobre números fracionários é que eles permitem um número infinito de representações. Temos:

\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \ldots

Este problema é contornado com a noção de classes equivalentes, mas uma forma mais pedestre de pensar é voltarmos ao exemplo de divisão de pães e você verá porque as fracções têm o mesmo valor.

— 4. Sumarizando e sintetizando —

Neste ponto, podemos estar muito felizes com o nosso trabalho. Começamos com os vulgares números naturais, a operação de adição e a noção de operação inversa.

Após definirmos o significado de adição no contexto dos números naturais introduzimos a noção de subtracção como sendo a operação inversa de adição. Multiplicação foi definido como sendo uma forma de estenografia para adições repetidas.

Após a definição de multiplicação, mais uma vez queríamos saber o que seria a sua operação inversa. Definimos a divisão como sendo subtrações consecutivas e mais uma vez uma operação apareceu como uma abreviação para uma operação já conhecida.

Depois de termos chegado a estas quatro operações (a partir de apenas uma) tomamos a liberdade de aplicá-las aos números naturais sem qualquer reserva. Dessa forma, chegámos à conclusão de que os números com que estávamos trabalhando não eram suficientes ou que tínhamos de colocar limites para as aplicações das operações inversas. A segunda opção não era compatível com o nosso princípio de ambição, então tivemos que aumentar a quantidade de números à nossa disposição:

\displaystyle \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}

— Visões de um futuro próximo —

No próximo artigo vamos continuar na nossa busca de coerência e um maior âmbito de aplicação para as operações inversas. Potências e radicais serão introduzidos e vamos ver que a operação de extração de radicais nos obriga a mais uma vez alargar o conjunto de números, e desta vez não será apenas uma, mas sim duas vezes!

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2 comentários

  1. […] Que é uma soma com com termos, sendo que todos eles são iguais a . Ora a soma de termos iguais é o que nós conhecemos como uma multiplicação. […]

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