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Regresso

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— 1. Regresso! —

Já há muito tempo que tenho o desejo de regressar à investigação em Física, mas por vários motivos acabo por ter sempre que adiar este regresso.

No entanto devido a este novo projecto e à nova fase profissional que me encontro penso que desta vez vai ser mesmo possível voltar a olhar para a Física com os olhos de quem quer dar o seu contributo, por mais reduzido que seja, a uma das maiores aventuras do espírito humano.

— 2. Plano de leitura —

De modo a poder voltar a estar actualizado com o que se tem passado na Física durante a minha ausência será necessário consultar literatura de Mecânica Quântica e Teoria Quântica de Campo. Os textos que vou utilizar para tal serão:

— 3. Teoria de Scattering

Este conjunto de notas é uma introdução concisa a teoria quântica de scattering para o formalismo relativista assim como para o formalismo não relativista.

A segunda seccão das notas refere-se a descrição matemática de partículas enquanto uma manifestação de um pacote de ondas, como é próprio da mecânica quântica: em primeiro lugar descrevemos ondas que se propagam numa dimensão para depois o formalismo ser generalizado para ondas tridimensionais.

— 3.1. Pacote de ondas 1D —

No instante {t=0}, a partícula pode ser descrita através do pacote de ondas:

\displaystyle \psi(x,t=0)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\varphi(k)e^{ikx} \ \ \ \ \ (1)

Onde {\varphi (k)} é a transformada de Fourier. Como exemplo a transformada de Fourier escolhida para os apontamentos é:

\displaystyle \varphi (k) = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\Delta k}} \quad |k-\bar{k}|\leq 0 \Delta k \\ 0 \quad\quad\quad |k-\bar{k}|>0 \end{cases} \ \ \ \ \ (2)

Para essa escolha da transformada de Fourier podemos calcular a função de onda:

{\begin{aligned} \phi(x) &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\varphi(k)e^{ikx} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\dfrac{1}{\sqrt{2\Delta k}}\int_{\bar{k}-\Delta k}^{\bar{k}+\Delta k}dke^{ikx} \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{\pi\Delta k}ix}\left( e^{i(\bar{k}+\Delta k)x}-e^{i(\bar{k}-\Delta k)x} \right) \\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi\Delta k}ix}e^{ikx}\left( e^{i\Delta kx}-e^{-i\Delta kx} \right) \\ &= \dfrac{1}{2\sqrt{\pi\Delta k}ix}e^{ikx}\left(\cos(\Delta kx)+i\sin(\Delta kx)-\cos(\Delta kx)+i\sin(\Delta kx) \right)\\ &= \dfrac{e^{ikx}}{\sqrt{\pi\Delta k}}\dfrac{\sin(\Delta kx)}{x} \end{aligned}}

— 3.2. Momento —

O momento médio de uma partícula em mecânica quântica é definido pela seguinte expressão:

\displaystyle <k>=\int_{-\infty}^{+\infty}dx\psi^*(x)\left\lbrace-i\dfrac{\partial }{\partial x}\right\rbrace\psi(x) \ \ \ \ \ (3)

Para a definição de pacote de ondas 1 e tendo em conta o exemplo escolhido para a transformada de Fourier 2 segue que

{\begin{aligned} <k>&=\int_{-\infty}^{+\infty}dx\psi^*(x)\left\lbrace-i\dfrac{\partial }{\partial x}\right\rbrace\psi(x) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dx \left\lbrace \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\varphi^*(k)e^{-ikx} \right\rbrace\left\lbrace-i\dfrac{\partial }{\partial x}\right\rbrace \left\lbrace\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk'\varphi(k')e^{ik'x}\right\rbrace \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}dx \left\lbrace \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk\varphi^*(k)e^{-ikx} \right\rbrace \left\lbrace\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}dk'\varphi(k')k'e^{ik'x}\right\rbrace\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dk\int_{-\infty}^{+\infty}dk'\varphi^*(k)\varphi(k')k'\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}dx e^{i(k'-k)x}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}dk\int_{-\infty}^{+\infty}dk'\varphi^*(k)\varphi(k')k'\delta(k'-k)\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}dk|\varphi(k)|^2k\\ &= \int_{\bar{k}-\Delta k}^{\bar{k}+\Delta k}dk\dfrac{k}{2\Delta k}\\ &= \dfrac{1}{2\Delta k}\left( (\bar{k}+\Delta k)^2-(\bar{k}-\Delta k)^2 \right)\\ &= \dfrac{1}{4\Delta k}(\bar{k}^2+\Delta k^2+2\bar{k}\Delta k-\bar{k}^2-\Delta k^2+2\bar{k}\Delta k)\\ &= \bar{k} \end{aligned}}

A derivação anterior mostra que o momento médio de uma partícula é {\bar{k}} que é o valor central da dustribuição {k}.

Enquanto estudava os apontamentos algo na derivação anterior deixou-me insatisfeito. O facto de termos usado o exemplo escolhido para a transformada de Fourier pareceu-me bastante redutor. Este resultado é claramente válido para uma classe mais geral de transformadas de Fourier e como tal uma prova mais geral tem que existir.

Os factos que são de facto essenciais para a demonstração do resultado anterior são:

  1. A transformada de Fourier deve ser normalizável {\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(k)|^2=1\right)}.
  2. A transformada de Fourier deve ser simétrica em torno de {\bar{k}}.

Fazendo a mudança de variável {u=k-\bar{k}} fica {du=dk} e {\varphi (-u)=\varphi (u)}, ou seja {\varphi (u)} é uma função par.

Assim a nossa demonstração pode ser:

{\begin{aligned} <k>&=\int_{-\infty}^{+\infty}dk|\varphi(k)|^2k\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}du|\varphi(u+\bar{k})|^2(u+\bar{k})\\ &= \bar{k}\int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(u+\bar{k})|^2+\int_{-\infty}^{+\infty}du |\varphi(u+\bar{k})|^2u\\ &= \bar{k}+0\\ &= \bar{k} \end{aligned}}

Onde {\displaystyle\bar{k}\int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(u+\bar{k})|^2=\bar{k}} segue da normalização de {\varphi (k)} (e uma translacção não altura a natureza de um integral) e {\int_{-\infty}^{+\infty}du |\varphi(u+\bar{k})|^2u=0} uma vez que {|\varphi(u+\bar{k})|^2u} é uma função ímpar.

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