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Análise Matemática – Sucessões III

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Teorema 18 Seja { E \subset \mathbb{R}}e { s=\sup E}. Então existe uma sucessão { u_n} com termos em { E} tal que { \lim u_n=s}.

Também podemos formular um teorema análogo para { i=\inf E}.

Demonstração: Demonstração omitida. \Box

Teorema 19 Dada as sucessões { u_n} e { v_n} é:

  1. { \lim u_n = a \in \mathbb{R}\Rightarrow \lim |u_n|=|a|}
  2. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} e { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { lim (u_n+v_n)=a+b}
  3. { \lim u_n=+\infty} e { v_n} minorada, então { \lim (u_n+v_n)=+\infty}
  4. { \lim u_n=-\infty} e { v_n} majorada, então { \lim (u_n+v_n)=-\infty}
  5. { \lim u_n=0} e { v_n} limitada, então { \lim (u_n v_n)=0}
  6. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}} and { \lim v_n=b \in \mathbb{R}}, então { \lim u_n v_n = ab}
  7. { \lim |u_n|=+\infty} e { \lim v_n=a \neq 0}, então { \lim |u_n v_n|= +\infty}
  8. { \lim u_n=a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \Rightarrow lim \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{a}}
  9. { \lim |u_n|=+\infty \Rightarrow \lim \dfrac{1}{u_n}=0}
  10. { \lim u_n=0 \Rightarrow \lim \dfrac{1}{|u_n|}=+\infty}

Demonstração: Só vamos demonstrar a propriedade 2 do teorema sendo que as restantes ficam como um exercício para o leitor

Seja { \delta > 0}. Então:

{\begin{aligned} |(u_n+v_n)-(a+b)| &= |(u_n - a)+(v_n - b)| \\ &\leq |u_n - a|+ |v_n - b| \end{aligned}}

Vamos denotar a relação anterior por 1 .

Também temos:

\displaystyle  u_n \rightarrow a\Leftrightarrow \exists k_1 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_1 \Rightarrow |u_n - a| \leq \dfrac{\delta}{2}

\displaystyle  v_n \rightarrow b \Leftrightarrow \exists k_2 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_2 \Rightarrow |v_n - b| \leq \dfrac{\delta}{2}

Seja { k=\mathrm{max}\{k_1,k_2\}} de modo a que ambas as condições anteriores sejam satisfeitas. Então { \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow |u_n - a|+|v_n - b|<\delta}.

Voltando a 1 fica:

\displaystyle  |u_n - a|+|v_n - b| < \delta

Consequentemente

\displaystyle  n \geq k \Rightarrow |(u_n + v_n)-(a+b)| < \delta

Isto é equivalente a

\displaystyle  \lim (u_n + v_n) =a+b

que é o resultado pretendido. \Box

Caso esteja a inquirir porque usámos { \dfrac{\delta}{2}} nas condições dos limites, tanto para { u_n} como para { v_n}, ao invés de utilizarmos { \delta} isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo { \dfrac{\delta}{2}}.

Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.

Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação { k-\delta} e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.

Teorema 20 (Convergência da Sucessão Monótona) Seja { u_n} uma sucessão monótona em { \overline{\mathbb{R}}}. Então { u_n} é uma sucessão convergente em { \overline{\mathbb{R}}}:

  • { \lim u_n = \mathrm{sup}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} crescente.
  • { \lim u_n = \mathrm{inf}\{ u_n: \, n \geq p \}} para { u_n} decrescente.

Demonstração: Vamos somente demonstrar o resultado para o caso em que {u_n} é uma sucessão monótona crescente.

Dada uma sucessão monótona { u_n} temos, { E=\{ u_n:\, n\geq p \}} e { s=\sup E}.

Vamos admitir que { s \in \mathbb{R}} (sucessão majorada). Dado { \delta > 0} é possível mostrar que { x \in E} tal que { s-\delta < x\leq s}.

Pela definição de { E} sabemos que { x=u_k}, para um certo { k}. Assim { \exists k \in \mathbb{N}:\, s-\delta < u_k \leq s}.

Uma vez que { u_n} é uma sucessão monótona { n \geq k \Rightarrow u_n > s-\delta}. Mas uma vez que { u_n \in E} também temos { u_n \leq s}.

Logo { n\geq k \Rightarrow s-\delta < u_n\leq s \Rightarrow u_n \in \rbrack s-\delta, s \rbrack \Rightarrow |u_n - s| < \delta}. Pela de definição de limite é { \lim u_n = s}.

Vamos agora supor que { s=+\infty}. Neste caso também podemos provar que dado { L > 0\, \exists x \in E: \, x > L}. Relembrando que é { x=u_k} temos { \exists k \in \mathbb{N}: \, u_k > L}. Uma vez { u_k} é uma sucessão crescente temos { n\geq k \Rightarrow u_n \geq u_k > L} e isto é equivalente a { u_n \rightarrow +\infty}. \Box

Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em { \overline{\mathbb{R}}} são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão { u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}} que tende para {0} ainda que não seja monótona.

Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Por hipótese sabemos que { \exists a,b \in \mathbb{R}: \, a\leq u_n \leq b}. Pelo Teorema 20 sabemos que { u_n } tem limite em { \overline{\mathbb{R}}}. Pelo Corolário 15 vem que { a \leq \lim u_n \leq b}. Assim { u_n \rightarrow c \in \mathbb{R}} onde { c \in \lbrack a, b \rbrack}. \Box

Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.

Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.

Por exemplo dado { u_n = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n} qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?

Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:

Pelo gráfico podemos ver que { u_n} aparente ser majorada por { 3} e é crescente, logo é monótona.

Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.

Proposição 22 { u_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} é uma sucessão convergente.

Demonstração: Primeiro vamos mostrar que { u_n } é crescente. Para o fazer vamos calcular { u_{n+1}/u_n}.

{\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&= \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} \\ &=\dfrac{\left (\dfrac{n+2}{n+1} \right )^{n+1}}{\left ( \dfrac{n+1}{n} \right )^n} \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n+2}{n+1}/\dfrac{n+1}{n} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1} \left( \dfrac{n^2+2n+1-1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )^n \end{aligned}}

Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli { (1+x)^r \geq 1+rx\, \forall r \in \mathbb{Z}} e { \forall x: \, x \geq -1}. Esta desigualdade será demonstrada num artigo futuro usando a indução matemática.

Continuando.

{\begin{aligned} \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^2} \right )^n &\geq \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2} \right ) \\ &= \left ( 1+\dfrac{1}{n+1}\right )\left ( 1-\dfrac{n}{\left(n+1\right)^2}\right ) \\ &= 1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1-\dfrac{-n(n+1)+(n+1)^2-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{-n^2-n+n^2+2n+1-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^3} \\ &\geq 1 \end{aligned}}

Em conclusão { \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n} e { u_n } é monótona.

Agora resta-nos mostrar que { u_n} é limitada e terminamos a nossa demonstração que {u_n} é convergente.

{ u_1=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1=2}. Umja vez que {u_n} é crescente vem que { u_n \geq 2}.

Assim resta-nos provar que { u_n} é majorada para podermos concluir que é limitada.

Como foi mostrado neste artigo podemos escrever

{ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n}}.

Escrevendo por extenso:

{\begin{aligned} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+\dbinom{n}{1}\dfrac{1}{n}+\dbinom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+\cdots +\dbinom{n}{n}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} \end{aligned}}

Sabemos que { \dfrac{n(n-1)\ldots (n-(k-1))}{2!}\dfrac{1}{n^k}<1} e que { \dfrac{1}{k!}<\dfrac{1}{2^{k-1}}}. Usando estas duas desigualdades, por essa ordem respectiva:

{ \begin{aligned} 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} &< 1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!} \\ &< 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}} \end{aligned} }

Assim o que temos é: { \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n<\displaystyle 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\left( \dfrac{1}{2} \right)^n}.

Uma vez que { \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}r^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}} segue

{\begin{aligned} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n &< 1+\dfrac{1-1/2^n}{1-1/2} \\ &= 1+\dfrac{1-1/2^n}{1/2} \\ &= 1+2-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &= 3-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &\leq 3 \end{aligned}}

Sintetizando o que nós temos é

\displaystyle  2\leq \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n \leq 3

Assim { u_n} é monótona e limitada. O que nos leva a concluir que { u_n} é convergente.

Para além disso também sabemos de { u_n \leq 3} que { \lim u_n \leq 3}. Tal não nos permite saber com exactidão qual é o valor do limite, mas é já alguma informação. \Box

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3 comentários

  1. […] Análise Matemática – Sucessões III […]

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  2. […] b) Usando a) estabeleça a desigualdade se e (se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III […]

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