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Análise Matemática – Sucessões IV

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Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.

— 3.3. Relações entre Sucessões —

Definição 20 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões. Vamos admitir a existência de uma sucessão { h_n} tal que { u_n = h_n v_n}.

Se { \lim h_n=1} dizemos que { u_n} é assimptoticamente igual a { v_n} e escrevemos { u_n \sim v_n}. Se { v_n \neq 0} podemos escrever { h_n = \dfrac{u_n}{v_n}}.

Como exemplo vamos considerar a sucessão { u_n=3n^2-5n+1}. É fácil ver que neste caso temos { u_n \sim 3n^2}.

Podemos então escrever { 3n^2-5n+1=3n^2\left(1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}\right)}.

Neste caso é { h_n=1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2}} e temos { \lim h_n = \lim \left( 1-\dfrac{5}{3n}+\dfrac{1}{3n^2} \right) = 1}.

Teorema 23 Consideremos as sucessões { a_n}, { b_n}, { c_n}, e { d_n}.

  • Se { a_n \sim b_n} e { \lim a_n = a} também temos { \lim b_n = a}
  • Se { a_n \sim c_n} e { b_n \sim d_n} então { a_n b_n \sim c_n d_n} e { \dfrac{a_n}{b_n} \sim \dfrac{c_n}{d_n}}.

Demonstração: Por definição de { a_n \sim b_n} é { a_n=h_n b_n}. Aplicando limites a ambos os lados da equação anterior vem { \lim a_n =\lim (h_n b_n)= \lim h_n \lim b_n= 1\cdot \lim b_n} onde { \lim h_n = 1} por hipótese. Então temos { \lim b_n =\lim a_n=a}.

Vamos escrever { a_n= h_n c_n} e { b_n= t_n d_n} com { \lim h_n = \lim t_n = 1}. Então { a_n b_n = h_n t_n c_n d_n} e aplicando limites { \lim ( a_n b_n )= \lim (h_n t_n)\lim ( c_n d_n )} com { \lim (h_n t_n)= \lim h_n \lim t_n=1\times 1 =1}. Então { \lim ( a_n b_n )= \lim ( c_n d_n )} como pretendido.

A parte do enunciado referente à divisão prova-se de uma forma semelhante. \Box

Definição 21 Sejam { u_n} e { v_n} duas sucessões e vamos supor que { u_n= h_n v_n} para uma sucessão { h_n}:

  • Se { \lim h_n = 0} dizemos que { u_n} é desprezável relativamente a { v_n} e escrevemos { u_n = o(v_n)}.
  • Se { h_n} é limitada dizemos que { u_n} é dominada por { v_n} e escrevemos { u_n = O(v_n)}.

Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:

A notação { u_n \sim v_n} expressa o facto que a diferença entre { u_n} e { v_n} tende para { 0\,} à medida que { n \rightarrow \infty}. Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos

A notação { u_n = O(v_n)} expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em {\infty}. A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.

A notação { u_n = o(v_n)} diz-nos que { u_n} toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com { v_n} à medida que nos aproximamos de { \infty}. De uma maneira mais formal: se { v_n \neq 0 \, \lim \dfrac{u_n}{v_n}=0}

Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:

\displaystyle \dfrac{1}{n^3}=o \left(\dfrac{1}{n}\right)

Escrevemos { \dfrac{1}{n^3}=\dfrac{1}{n^2}\dfrac{1}{n}}. Definindo { h_n = \dfrac{1}{n^2}} vemos que é efectivamente { \lim h_n=0}

\displaystyle \dfrac{\sin n}{n}=O\left(\dfrac{1}{n}\right)

Neste caso escrevemos { \dfrac{\sin n}{n}=\sin n \dfrac{1}{n}} com { h_n=\sin n}. Uma vez que { \sin n} é limitada obtemos o resultado pretendido.

— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —

Definição 22 Diz-se que { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n} se { \alpha_n} é uma sucessão que tende para { \infty}.

De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, { u_{\alpha_n}}, de { u_n} é uma sucessão que omite alguns dos termos de { u_n}.

Como exemplo de subsucessões temos { u_{2n}} (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e { u_{n^2}} (onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).

Teorema 24 Se uma sucessão tem um limite então todas as suas subsucessões têm o mesmo limite.

Demonstração: Por hipótese { u_n \rightarrow a \in \overline{\mathbb{R}}}. Seja { u_{\alpha_n}} uma subsucessão de { u_n}.

Se { u_n} converge sabemos que { \forall \delta > 0\, \exists l \in \mathbb{N}: \; n \geq l \Rightarrow u_n \in V(a,\delta)}.

Uma vez que { \alpha_n \rightarrow \infty \quad \exists k \in \mathbb{N}: \; n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} > l}.

Assim { n \geq k \Rightarrow u_{\alpha_n} \in V(a,\delta)}.

Por definição isto é { \lim u_{\alpha_n}=a} \Box

Já vimos que { u_n = \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n} é uma sucessão convergente, então, ainda que { v_n = \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que { \lim \left (1+\dfrac{1}{n} \right )^n = \lim \left (1+\dfrac{1}{n^2} \right )^{n^2}} visto que { v_n=u_{n^2}} e assim { v_n} é uma subsucessão de uma sucessão convergente.

Corolário 25 Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites distintos, então a sucessão é divergente.

Demonstração: Segue directamente de { p\Rightarrow q \Leftrightarrow \left( \sim q \Rightarrow \sim p \right)}.

Ou seja este corolário é o contra-recíproco do Teorema 24 e como tal é também uma proposição verdadeira. \Box

Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar { u_n = (-1)^n}.

{ u_{2n}= (-1)^{2n}=1} e é {\lim u_{2n}=1}.

{ u_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1} e é { \lim u_{2n+1}=-1}.

Concluímos então que { u_n=(-1)^n} é uma sucessão divergente.

Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em { \mathbb{R}}.

Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração.

Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente. \Box

Definição 23 Seja { X \subset \mathbb{R}}. Dizemos que { X} é um intervalo compacto se for fechado e limitado.
Corolário 27 Seja { X} um intervalo compacto e { u_n : \mathbb{N} \rightarrow X}. Então { \exists \, u_{\alpha_n}: \quad \lim u_{\alpha_n}=x \in X} onde { u_{\alpha_n}} é uma subsucessão de { u_n}.

Demonstração: Seja { X= \lbrack a, b \rbrack} um intervalo compacto e { u_n} uma sucessão de pontos em { X}. Uma vez que { a \leq u_n \leq b}, { u_n} é limitada. Do Teorema 26 vem que { u_n} tem uma subsucessão convergente: { u_{\alpha_n}}.

Para { u_{\alpha_n}} também é { a \leq u_{\alpha_n} \leq b}. Isto implica { \lim a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq \lim b \Rightarrow a \leq \lim u_{\alpha_n} \leq b\Rightarrow \lim u_{\alpha_n} \in X} \Box

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