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Análise Matemática – Limites e Continuidade I

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— 4. Limites e Continuidade —

Após introduzirmos sucessões e ganharmos conhecimentos sobre algumas das suas propriedades (I, II, III, e IV) estamos finalmente prontos para estudar Análise Real.

— 4.1. Definições Preliminares —

A Física expressa-se de uma forma mais concisa e eficiente na linguagem da Matemática. Um conceito matemático muito útil para a Física é conceito de uma função.

Falando de forma informal uma função é uma associação (transforma um sinal de entrada de um conjunto a um sinal de saída noutro conjunto) entre os elementos de dois conjuntos.

As sucessões que estudámos são casos particulares de funções: eles tomam números naturais e mapeiam-nos para números reais.

Mais formalmente introduzimos:

Definição 24

  • Uma função, {f} é uma relação (mapeamento) entre elementos de dois subconjuntos de números reais fazendo corresponder a um elemento do primeiro conjunto, um e um só elemento do segundo conjunto.

    \displaystyle  f:D\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ \ \ \ (44)

  • O conjunto {D} é o domínio da função
  • O conjunto formado pelos elementos que podem ser relacionados com o conjunto da função diz-se o contradomínio da função .

    Representamos o elemento transformado pela função por {f(x)}:

    \displaystyle   \left\lbrace f(x):x \in D \right\rbrace = f\left[ D \right] \ \ \ \ \ (45)

Por vezes estamos interessados no mapeamento de uma função não para a totalidade de {D} mas somente para um subconjunto de {D}. Assim, faz sentido introduzir:

Definição 25

Seja {E \subset D}. Então {f\left[ E \right] = \left\lbrace f(x):x \in E \right\rbrace } é o transformado de {f} por {E}.

Tal como fizemos para as sucessões podemos definir o que é uma função majorada, minorada e limitada.

A título de exemplo temos

Definição 26

{f} diz-se limitada sse {\exists \, \alpha > 0 : |f(x)| \leq \alpha \forall x \in D }

— 4.2. Introdução à Topologia —

Vamos agora introduzir de forma breve algumas noções topológicas para depois estudarmos os conceitos de limites e continuidade.

Definição 27

  • Seja {E \subset \mathbb{R}}. Dizemos que {c \in \overline{\mathbb{R}}} é um ponto limite de {E} se existe uma sucessão {x_n} de pontos em {E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {\lim x_n = c}.
  • O conjunto dos pontos limites de {E} é {E^\prime}.
  • Os pontos pertencentes a {E} que não são pontos limites dizem-se pontos isolados.

Como já vem sendo nosso hábito após introduzirmos algumas definições vamos fornecer alguns exemplos para tornar a nossa exposição mais concreta:

\displaystyle  E = \left] 0,1\right[ \cup \left\lbrace 2 \right\rbrace

É fácil ver que (e não vamos dar uma demonstração rigorosa dessa asserção) que {E^\prime= \left[ 0,1 \right] } e que {2} é o único ponto isolado de {E}.

Definição 28

  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+}} denota o limite para {c} por números reais maiores que {c}.
  • {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^-}} denota o limite para {c} por números reais menores que {c}.
  • Definimos {\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^+} f(x) = a} se para todas sucessões {x_n \in D} tais que {x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

Definição 29

O símbolo {D_{c^+}} é utilizado para denotar {D \cap \left] c, \infty \right[ } e o símbolo {D_{c^-}} para denotar {D \cap \left] - \infty , c \right[ }

Como exemplo vamos calcular

\displaystyle  \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}

Neste caso é {D_{0^+} = \left] 0, \infty \right[ } e {0^+ \in D^\prime_{c^+}} pelo que o limite que vamos calcular não é despropositado.

Se {x_n} é uma sucessão de pontos em {D^\prime_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow 0^+} então

\displaystyle \lim f(x_n)=\lim \dfrac{1}{x_n}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty

Teorema 28

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime}. Vamos admitir que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}. Então, se {c \in D^\prime_{c^+}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a }. Se {c \in D^\prime_{c^-}} vem que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a }.

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D_{c^+}} tal que {x_n \rightarrow c}. Uma vez que {x_n} é uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } (pela nossa escolha de {x_n}) e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a} (por hipótese do teorema) vem, pela definição de limite que { \lim f(x_n)= a}.

Mas isto é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} = a} por definição.

O caso {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} é demonstrado com um raciocínio semelhante.

\Box

Como aplicação do teorema 28 vamos calcular

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}

É fácil ver que este limite não existe. Seja {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = -\infty}.

Uma vez que os limites laterais são diferentes podemos concluir que o limite {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{1}{x}} não existe.

Definição 30

{ +\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é majorado em { \mathbb{R} }.

{ -\infty } é um ponto limite de {E} se {E} não é minorado em {\mathbb{R}}.

Se as definições anteriores o deixam confuso lembre-se que se {E} não é majorado, então tem-se necessariamente { \exists x_n \in E: \quad \lim x_n = +\infty } o que é a definição de ponto limite.

Definição 31

{c} diz-se ponto limite de {E} se

\displaystyle   \forall \delta > 0 \; V(c,\delta) \cap E \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \neq \emptyset \ \ \ \ \ (46)

Definição 32

Seja {D \subset \mathbb{R} }, {f : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e { a \in \mathbb{R} }.

{f} tem limite {a} no ponto {c} se para todas sucessões {x_n \in D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tais que {\lim x_n = c} vem que {\lim f(x_n) = a}.

— 4.3. Limites e Topologia —

Só definimos o limite de uma função em pontos limite do seu domínio. De notar que com esta definição podemos também definir o limite de uma função em pontos que não pertencem ao domínio da função.

Vamos agora utilizar alguns exemplos para testar os nossos conhecimentos:

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} }.

    { D = \mathbb{R} \setminus \left\lbrace 0 \right\rbrace } e { + \infty \in D^\prime } uma vez que {D} não é majorado em { \mathbb{R} }.

    Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D} tal que { x_n \rightarrow + \infty } e {f(x)=\dfrac{1}{x}}. Então {f(x_n)=\dfrac{1}{x_n}} e temos {\lim f(x_n)=0}.

  • Calcule {\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} \sin x }

    O domínio de {f(x)= \sin x} é {D = \mathbb{R}}. Logo {+\infty \in D^\prime}

    Seja {x_n = n \pi}. Assim {x_n \rightarrow +\infty } e {f(x_n)=\sin x_n = 0}.

    Neste caso é trivial que {\lim f(x_n)=0}.

    No entanto escolhendo {y_n=\pi/2 + 2n\pi} também é {y_n \rightarrow + \infty}, mas {f(y_n)= \sin (\pi/2+2n\pi)=1} e assim {\lim f(y_n)=1}.

    Uma vez que temos {x_n}, {y_n} tais que {\lim x_n = \lim y_n = + \infty}, mas {\lim f(x_n) \neq \lim f(y_n)}. Logo {\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin x } não existe.

Vamos agora introduzir os conceitos de limites laterais. Vamos usar os símbolos {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}} para denotar a aproximação a {c} por números reais maiores que {c}. A definição de {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-}} segue um caminho análogo.

Formalizando:

Definição 33

  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^+} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.
  • {D_{c^+}} é {D \cap \left] c, +\infty \right[ } e {D_{c^-}} é {D \cup \left] -\infty, c \right[ }.
  • Dizemos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x)=a} se para todas {x_n \in D} tais que { x_n \rightarrow c^-} corresponde uma sucessão {f(x_n)} tal que {f(x_n) \rightarrow a}.

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