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Análise Matemática – Limites e Continuidade II

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\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1}{x}

Neste caso é {D_{0^+} = \left] 0, +\infty\right[ } e { 0^+ \in D_{0^+} }.

Se {x_n} é uma sucessão de pontos em {D_{0^+}} tal que {x_n \rightarrow 0^+} vem que

\displaystyle  \lim f(x_n) = \lim \dfrac{1}{x_n} = \dfrac{1}{0^+} = + \infty

Vamos agora introduzir um teorema que descreve um resultado simples e óbvio.

De uma forma mais dinâmica podemos entender o teorema seguinte como indicando o facto de que se nos aproximarmos de um ponto {c} pela sua esquerda ou pela sua direita as imagens associadas a ambos os limites devem ser iguais, para o limite realmente existir.

Teorema 29

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R} }, {c \in D^\prime} e vamos supor que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = a}. Se {c \in D^\prime_{c^+}} temos que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a}, e se {c \in D^\prime_{c^-}} também é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) = a}.

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D_{c^+} } tal que {x_n \rightarrow c}.

Uma vez que {x_n} é uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace} (por definição de {x_n}) e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)=a } (por hipótese) pela definição de limite vem que { \lim f(x_n) = a }.

Mas isto é { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a} pela Definição 33.

O caso { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c^-} f(x) } é provado usando um raciocínio análogo e como tal fica como um exercício para o leitor. \Box

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{1}{x}

Já sabemos que {\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty} e que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \dfrac{1}{x} = - \infty }.

Uma vez que o limite à direita de {0} é diferente do limite à esquerda podemos concluir que o limite não existe.

— 4.4. Limites de Funções e desigualdades —

Vamos agora enunciar um conjunto de teoremas que vão generalizar os resultados que vimos para as sucessões.

Teorema 30 (Desigualdade de limites) Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}, {c \in D^\prime} e vamos admitir que existe {r > 0} tal que

\displaystyle f(x) < g(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace )

Se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)} existe e é {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)}

Demonstração:

Seja {x_n} uma sucessão de pontos em {D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace } tal que {x_n \rightarrow c}. Pela definição 19 {\exists k \in \mathbb{N}:\, n \geq k \Rightarrow x_n \in V(c,r) \Rightarrow x_n \in V(c,r) \cap D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace }.

Uma vez que {x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace \Rightarrow f(x) \leq g(x)}.

Assim {n \geq k} implica que {f(x_n) \leq g(x_n)}.

Pelo Teorema 14 sabemos que é {\displaystyle \lim f(x_n) \leq \lim g(x_n)}.

Uma vez que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(x_n)} e {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x) = g(x_n)} segue que {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq \lim_{x \rightarrow c} g(x)} \Box

Corolário 31

Seja {D \subset \mathbb{R}}, {f: D \rightarrow \mathbb{R} }, {c \in D^\prime} e {a \in \mathbb{R}}.

Se existe {r > 0} tal que {f(x) \leq a} ({f(x) \geq a}) { \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace} e se {\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x)} existe, vem que { \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \leq a} ({ \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) \geq a }).

Demonstração: Façamos {g(x)=a} no Teorema 30. \Box

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1 Comentário

  1. […] corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) […]

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