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CONCEITO DE FUNÇÃO

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— 1. Conceito de funções —

Definição 1

Sejam dois conjuntos {A} e {B}, ambos diferentes do conjunto vazio e {f} uma relação de {A} em {B}, diz-se que {f} é uma função definida de {A} em {B} se, e somente se, para todo {x} que pertence ao conjunto {A} existe um, e só um elemento {y} que pertence ao conjunto {B} de maneira que o par ordenado {(x,y)} pertença a função {f}.

Em simbolos, temos:

{ f } é uma função de { A } em { B }

\displaystyle  \leftrightarrow \forall_x \in A,\exists y \in B \ tal \ que \ (x,y) \in f .  \ \ \ \ \ (1)

Nota: podemos dizer que { f } é uma função ou { f } é uma aplicação.

Exercício 1 Dados os conjuntos {A= (-2, 1, 2, 3) } e { B=(-2,-1,1,5,6,13)} e a seguinte relação { D= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace} de {A} em {B}. É uma função? Resolução

Vamos começar a resolver: Como { x \in A } segundo a definição, então temos:

Para {x=-2}, temos { y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( -2+1)^2 -3\rightarrow y=-2\rightarrow y\in B }, logo {(-2,-3)\in f }.

Para {x=1}, temos {y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 1+1)^2 -3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B }, logo {(1,1)\in f }.

Para {x=2}, temos {y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 2+1)^2 -3\rightarrow y=6\rightarrow y\in B }, logo {(3,6)\in f }.

Para {x=3}, temos { y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 3+1)^2 -3\rightarrow y=13 \rightarrow y \in B }, logo {(3,13)\in f}. como todos elementos de {A} correspondem a um, e só um elemento de {B}, então a relação {D= \lbrace(x,y) f \rbrace \in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace} é uma função.

Exercício 2 Dados os conjuntos { A=\lbrace 0,1,3,4,5\rbrace } e { B=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid 1\leq x\leq 2\rbrace } pela lei de transformação {y=\dfrac{x+3}{x+2}}. Mostre que é uma função de {A} em {B}. Resolução: Como {x} é do conjunto {A}, então temos:

Para { x=0 \rightarrow y=\dfrac{0+3}{0+2} \rightarrow y=\dfrac{3}{2} \rightarrow y\in B\rightarrow (0,\dfrac{3}{2})\in f }. Para { x=1 \rightarrow y=\dfrac{1+3}{1+2} \rightarrow y=\dfrac{4}{3}\rightarrow y\in B\rightarrow (1,\dfrac{4}{3})\in f }.

Para { x=3\rightarrow y=\dfrac{3+3}{3+2} \rightarrow y=\dfrac{6}{5}\rightarrow y\in B\rightarrow (3,\dfrac{6}{5})\in f}.

Para { x=4 \rightarrow y=\dfrac{4+3}{4+2} \rightarrow y=\dfrac{7}{6} \rightarrow y\in B\rightarrow (4,\dfrac{7}{6})\in f}.

Para { x=5 \rightarrow y=\dfrac{5+3}{5+2} \rightarrow y=\dfrac{8}{7} \rightarrow y\in B\rightarrow (5,\dfrac{8}{7})\in f}.

vimos que todos elementos do conjunto {A} correspondem a um, e somente um elemento do conjunto {B}, então {y=\dfrac{x+3}{x+2}}é uma aplicação de {A} em {B}.

Exercício 3 Seja a relação { f(x)=26-x^2 } aplicada de { A } em { \mathbb{N}}, onde { =\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\rbrace }, mostre que não é uma aplicação de {A} em { \mathbb{N} } Resolução: Vamos lá resolver esse exercício:

Segundo a linguagem do exercício, garante-nos, seguramente, que não é uma função(ou não é uma aplicação) de {A} em {\mathbb{N}}, logo temos que provar que existe um elemento {x} do conjunto {A} que não corresponde a um elemento {y} do conjunto {\mathbb{N}} ou,que corresponde mais de um elemento de conjunto {\mathbb{N}}.

Como o conjunto de partida {A} é infinito, o processo que fizemos nos exemplos anteriores é trabalhoso demais que é, analisar um elemento por cada elemento correndo risco de fazê-lo {-l0 } cem vezes. Sendo assim, é suficiente mostrar que existe um elemento {x} de {A} que não corresponde a {y} de {\mathbb{N} } ou, que corresponde mais de um elemento de {\mathbb{N}}. Temos:

Para { x=-6 \rightarrow f(6)=26-(-6)^2 \rightarrow f(6)=26-36 \rightarrow f(6)=-10 } Como {-10} não pertence ao conjunto dos números natural { \mathbb{N} }, implica que { f(x)=26-x^2} não é uma função {A} em { \mathbb{N}} .

Exercício 4 Dados os conjuntos { A=(-2, 1, 2, 3)} e {B=(-2,1,4,5,7,9)} definida por {y=-2x+3} de {A} em {B}. É uma função?

Resolução: Como {x \in A }, então temos:

Para { x=-2 \rightarrow y=-2x+3 \rightarrow y=4+3 \rightarrow y=7 \rightarrow y \in B }, logo {(-2,7)\in f}.

Para {x=1}, temos { y=-2x+3 \rightarrow y=-2+3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B}, logo {(1,1) \in f }.

Para { x=2 }, temos {y=-2x+3\rightarrow y=-4+3\rightarrow y=-1}, {y} não pertence a função.

Como existe um elemento do conjunto { A} que não corresponde a nenhum elemento de {B}, então a relação dada não é uma função de {A} em {B}. Não precisas terminar o processo, basta indicar um elemento do conjunto { A } cujo resultado não é de { B } é suficiente dizer que não é uma função.

Exercício 5 Seja a relação { y^2 =(x-2)^2 +x } de {\mathbb{R}^+} em {\mathbb{R}}. Mostre se é uma aplicação.

Resolução:

Vamos mostrar ao contrário que não é uma aplicação, isto equivale dizer, existe um elemento {x} de {\mathbb{R}^+} que não se relaciona com um, ou que se relaciona com mais de um elemento {y} de {\mathbb{R}} . A relação {y^2 =(x-2)^2 +x } de {\mathbb{R}^+} em {\mathbb{R}} para {x=3} ,temos: { y^2 =(3-2)^2 +3 \rightarrow y^2 =(1)^2 +3 \rightarrow y^2 =1+3 \rightarrow y^2 =4 \rightarrow y=\pm2}, logo não é uma função porque para {3} de { \mathbb{R}^+ }, existem { -2 } e { 2 } em {\mathbb{R}}. Apenas um elementos em {\mathbb{R}} neste caso.

Exercício 6 A relação { f(x)=\frac{x^3}{3} } é uma função de {A} em {\mathbb{R}}, onde { A=\lbrace x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x \leq2\rbrace}? Resolução:

Como é impossível numerar os elementos do conjunto {A} é mais fácil provar ao contrário que não é uma aplicação indicando um elemento de {A} que não resulta um elemento de {\mathbb{R} } ou que resulta dois ou mais elementos de {\mathbb{R}}.

É evidente que não existe nenhum elemento de {A} cujo o resultado de {f(x)} não seja real ou seja, para todos os elementos de {A} existe, claramente, um numero real, por isso é uma aplicação ou é uma função de {A} em { \mathbb{R}}.

Exercício 7 Dados os conjuntos { A= (-2, 1, 2, 3) } e { B=(-3 ,-2,-1,1,4,5,6,9)} e a lei definida por { C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace } de {A} em {B}, prove se é uma função.

Resolução:

Como { x \in A }, então temos:

Para { x=-2 }, temos {y=7-x\rightarrow y=7+2 \rightarrow y=9 \rightarrow y \in B }, logo {(-2,9)\in f }.

Para { x=1 }, temos { y=7-x \rightarrow y=7-1 \rightarrow y=6 \rightarrow y\in B }, logo {(1,6) \in f }.

Para { x=2 }, temos { y=7-x\rightarrow y=7-2 \rightarrow y=5\rightarrow y\in B }, logo {(2,5)\in f }.

Para { x=3 }, temos { y=7-x\rightarrow y=7-3 \rightarrow y=4\rightarrow y\in B }, logo {(3,4)\in f }. Vimos que para todos elementos de {x} que pertencem ao conjunto {A}, pela lei de transformação {y=7-x}, corresponde a um único elemento do conjunto {B}, logo a relação { C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace } de {A} em {B} é uma função ou é uma aplicação de {A} em {B} .

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