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Função composta

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— 1. Conceito —

Definição 1 Dados três conjuntos { A }, { B } e { C } não vazios. seja { f } uma função de { A } em { B } e { g } outra função de { B } em { C }. Chama-se função composta de { f } e { g } a função { h } de { A } em { C } definida por:

\displaystyle   h(x)=f(g(x)) \ \ \ \ \ (1)

se {\forall x\in A }

Muita das vezes representa-se por { h(x)=fog \ \forall x\in A } e lê-se: { f } composta por { g },

então { (fog)(x)=f(g(x)) \ \forall x\in A }

por diagrama temos:

A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:

Exercício 1

Dados os conjuntos { A=(1,2,3) }, { B=(-1,2,5,7) } e { C=(-1,5,11,15) }.

Seja a função { f(x)=x^2-2 } de { A } em { B } e a outra { g(x)=2x+1 } de { B } em { C }, calcular { h=gof }

Resolução

{ f:A\rightarrow B }.

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(1)=(1)^2-2=1-2=-1 \leftrightarrow f(1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(2)=(2)^2-2=4-2=2 \leftrightarrow f(2)=2 }

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(3)=(3)^2-2=9-2=7 \leftrightarrow f(3)=7 }

{ g:B\rightarrow C }, temos:

Para { x=-1 } temos:{ g(x)=2x+1 \rightarrow g(-1)=2(-1)+1=-2+1=-1 \leftrightarrow g(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(2)=2(2)+1=4+1=5 \leftrightarrow g(2)=5 }

Para { x=5 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(5)=2(5)+1=10+1=11 \leftrightarrow g(5)=11 }

Para { x=7 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(7)=2(7)+1=14+1=15 \leftrightarrow g(7)=15 }

Agora podemos calcular a função composta definida por { h(x)=gof=g(f(x)) \forall x \in A }

Para { x=1 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(1)=g(f(1))=g(-1)=-1 \leftrightarrow h(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(2)=g(f(2))=g(2)=5 \leftrightarrow h(2)=5 }

Para { x=3 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(3)=g(f(3))=g(7)=15 \leftrightarrow h(3)=15 }

por diagrama, temos:

Observando muito bem { h(x)=gof \forall x \in A } o conjunto { Im \subset C }, então temos:

{ h(x)=gof } de { A } em { C }

Exercício 2

Dadas as funções reais { g(x)=x^2+4 } e { f(x)=x-3 }, determinar a função composta { h(x)=g(f(x)) }

Resolução

Temos:

{ h(x)=g(f(x))=g(x-3)=(x-3)^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13 }

{ \leftrightarrow h(x)=g(f(x))=x^2-6x+13 }

Teorema 1

{ g } composta com { f } em geral não é igual a { f } composta com { g }

\displaystyle   gof \neq fog \ \ \ \ \ (2)

Demonstração:

Sejam { x \in A }, { y \in B } e { u \in B } e { v \in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e { v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (gof)(x)=g(f(x))=g(y)=u \leftrightarrow gof=u }

e

{ (fog)(y)=f(g(y))=f(u) \leftrightarrow fog=f(u) } contradição porque

{ u \in C } e { f: A \rightarrow B }

logo: { gof \neq fog }

\Box

Exercício 3

Sejam as funções { f(x)=-2x+3 } e { g(x)=x-x^2 }, Calcular { gof } e { fog }

Resolução: Temos:

{ gof=g(f(x))=-2(x-x^2)+3=-2x+2x^2+3=x^2-2x+3 }

{ \leftrightarrow gof=x^2-2x+3 }

e

{ fog=f(g(x))=(-2x+3)-(-2x+3)^2=(-2x+3)-(4x^2-6x+9)}

{ \leftrightarrow f(f(x))=-2x+3-4x^2+6x-9=-4x^2+4x-6 }

{ \leftrightarrow fog=-4x^2+4x-6 }

Verificando o teorema

{ gof\neq fog }

Exercício 4

Sejam as funções { f(x)=x^2-5x+6 } e { g(x)=x^2 }, Calcular: { (gof)(1) } e { (fog)(1) }

Temos:

{ gof=g(f(x))=(x^2-5x+6)^2=x^4-10x^3+37x^2-60x+36 }

calculando { (gof)(1) },

temos:

{ (gof)(1)=g(f(1))=1^4-10(1)^3+37(1)^2-60(1)+36=4 \leftrightarrow (gof)(1)=4 }

e

{ (fog)=f(g(x))=(x^2)^2-5x^2+6=x^4-5x^2+6 \leftrightarrow fog=x^4-5x^2+6 }

Calculando { (fog)(1)}, temos:

{ (fog)(1)=f(g(1))=(1)^4-5(1)^2+6=2 ,\leftrightarrow (gof)(1)=4 }

Verificando o teorema, vemos que { gof \neq fog }

Exercício 5

Sejam as funções { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } e { g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} } definidas por { f(x)=x+2 } e { g(x)=\dfrac{2}{x^2} }, determinar { f(g(x)) } e { g(f(x)) }

Resolução:

Temos:

{ f(g(x))=\dfrac{2}{x^2}+2=\dfrac{2+2x^2}{x^2} \leftrightarrow f(g(x))= \dfrac{2+2x^2}{x^2} }

{\leftrightarrow f(g(x)): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} }

isto é verdade; logo { f(g(x))=\dfrac{2+2x^2}{x^2} } de { \mathbb{N} } em { \mathbb{R} }

e

{ g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} \leftrightarrow g(f(x)):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } que não é verdade

como { x\in R }, tomemos { x=-2 } a função { g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} } não está definida; logo não é uma função de { R } em { R }

Teorema 2

A função composta é associativa.

\displaystyle   (hog)of=ho(fog) \ \ \ \ \ (3)

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (hog)of=(hog)of)x=(hog)f(x)=(hog)y=h(g(y))=h(u)=v }

{\leftrightarrow (hog)of=v }

e

{ ho(gof)(x)=ho(g(f(x)))=ho(g(y))=h(u)=v \leftrightarrow ho(gof)=v }

Assim mostramos que: { (hog)of=ho(fog) }

\Box

Exercício 6

Dadas as funções { f(x)=3-x } e { g(x)=(x+1)^2 } e { h(x)=3x },

Calcular { (hog)of } e { ho(fog)} e verifique o teorema.

temos:

{ (hog)of=(h(g(x))of=3(x+1)^2=3f(x)^2+6f(x)+3=3(3-x)^2+6(3-x)+3 }

{ \Longrightarrow (hog)of=3x^2-24x+48 }

e

{ ho(gof)=ho(g(f(x)))=h(-x+4)^2)=3(-x+4)^2=3x^2-24x+48 }

Claramente que são iguais

Teorema 3

Se { f } e { g } são sobrejectivas então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (4)

também é sobrejectira

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

Como { g } é sobrejectiva, então

{ \forall u\in C }, { \exists y\in B } de modo que { g(y)=u }

e

a função { g } é sobrejectiva, então

{ \forall y\in B }, { \exists x\in A } de modo que { f(x)=y } então,

{ \forall u\in C, \exists x\in A: u=g(y)=g(f(x))=(gof)(x) }

Assim provamos que { gof } sobrejectiva.

\Box

Teorema 4

Se duas funções { f } e { g } são injectivas, então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (5)

também é injectiva

Demonstração:

Seja { \forall x_{1} \in A } e { \forall x_{2} A }. Suponhamos { (gof)(x_{1})=(gof)(x_{2}) } logo, { g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }. Como { g } é injectiva, então

{ g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }, como { f } também é, então { x_{1}=x_{2} } implica que { gof } é injectiva.

\Box

Teorema 5

Sejam as função { f: A\rightarrow B } e { f^{-1}: B \rightarrow A } ,então

\displaystyle   f^{-1}of= \vert_{A} \ e \ fof^{-1}= \vert_{B} \ \ \ \ \ (6)

onde: { \vert_{A} \ e \ \vert_{B} } são funções identidade.

Demonstração:

Sejam os elementos { x \in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { x=f(y) } de { B } em { A },temos:

{ \forall x \in A (f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{1}(y)=x \leftrightarrow (f^{-1}of)(x)=x }, é verdade que { x \in A }

{\forall y \in B (fof^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y \leftrightarrow (fof^{-1})(y)=y } é verdade que { y \in B }

\Box

Teorema 6

Se a função { f:A \rightarrow B } e { g:B \rightarrow C } são bijectivas então:

\displaystyle   (gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} \ \ \ \ \ (7)

Demonstração:

Sejam { x\in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { u=g(y) } de { B } em { A }.

Vamos supor também que { f } e { g } são mesmo bijectivas, logo { gof } de { A } em { C } também é bijectiva ,então { (gof)^{-1} } de { C } em { A }

Sendo assim; demonstrar que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } equivale mostrar que { (f^{-1}og^{-1})o(gof)=\vert_{A} } e {(gof)o(f^{-1}og^{-1}=\vert_{C} }

Temos:

{ (f^{-1}og^{-1})o(gof)=((f^{-1}og^{-1})og)of=(f^{-1}(g^{-1}og))of=(f^{-1}o\vert_{B})of=f^{-1}of=\vert_{A} }

e

{ (gof)(f^{-1}og^{-1})=((gof)of^{-1})og^{-1}=( g(fof^{-1}))og^{-1}=(go\vert_{A})og^{-1}=gog^{-1}=\vert_{c}}

Assim demonstramos que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } se { f } e { g } forem bijectivas.

\Box

— 2. Exercícios complementares —

Exercício 7 Sejam as funções { g(x)=2x+3 } e

{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-2x & se \ x \geq 2;\\ x^2 & se \ x < 2 \end{array} \right. } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos: fazer { y=g(x) } { 1 }) Para { x\geq 2 \leftrightarrow 2x+3 \geq 2 \leftrightarrow x \geq - \dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))= (2x+3)^2-2(2x+3)=4x^2+12x+9-4x-6=4x^2+8x+3 }

{ 2 }) para { x<2 \rightarrow 2x+3<2 \leftrightarrow x<-\dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))=-3(2x+3)+2=-6x-9+=-6x-7 }

então,

{ \left.f(g(x))=\lbrace \begin{array}{ll} x^2+8x+3 & se \ x\geq -\dfrac{1}{2};\\ -6x-7 & se \ x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. }

Exercício 8

Dadas as funções { g(x)=\sqrt{x} } e { s(x)=\sqrt{1-x^2} },

determinar { gos } e { sog }

Resolução Temos:

{ gos=g(s(x))=\sqrt{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt[4]{1-x^2} }

e

{ sog=s(g(x))=\sqrt{1-\sqrt{x^2}}=\sqrt{1-x} }

Exercício 9

Dadas as funções { f(g(x))=4x+11 } e { g(x)=x+2 } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos:

{ f(g(x))=4x+11 \leftrightarrow f(x+2)=4x+11}

fazendo { t=x+2 \leftrightarrow x=t-2 },

tem-se: { f(t)=4(t-2)+11=4t-8+11=4t+3 \rightarrow f(x)=4x+3}

Exercício 10 Dadas as funções { g(f(x))=4x^2-12x+10 } e { f(x)=2x-3 } determinar { g(-4) }

Resolução Temos:

{ g(f(x))=4x^2-12x+10 \leftrightarrow f(2x-3)=4x^2-12x+10 }

fazendo { t=2x-3 \leftrightarrow x=\dfrac{t+3}{2} },

tem-se:

{ g(t)=4(\dfrac{t+3}{2})^2-12(\dfrac{t+3}{2})+10 }

{\leftrightarrow g(t)=4(\dfrac{t^2+6t+9}{4})-6(t+3)+10=t^2+6t+9-6t-18+10 }

{ \leftrightarrow g(t)=t^2+1 \rightarrow g(x)=x^2+1}

Calculando { g(-4) },

temos:

{ g(-4)=(-4)^2+1=16+1=17 }

Exercício 11 Dadas as funções { g(x)=ax+b } e { f(x)=cx^2+d }.

a) Qual é a condição que satisfaz a igualdade { f(g(x))=g(f(x))} ?

b) Mostre que { (fog)(0))-g(f(0))=d(a-1)+b(c-b) }

Resolução Temos:

a) { f(g(x))=a(cx^2+d)+b=acx^2+ad+b }

e

{ g(f(x))=c(ax+b)^2+d=c(a^2x^2+2abx+b^2)+d=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

para que { f(g(x))=g(f(x)) }, temos:

{ acx^2+ad+b=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

Utilizando identidade de polinómios, temos:

{ abc=0 } e {cb^2+d=b }

Resolvendo o sistema resulta: { f(g(x))=g(f(x)) }

{ \left.f(g(x))=g(f(x)) \leftrightarrow \lbrace \begin{array}{ll} cd^2+d=b & se \ a=0 ;\\ d=b & se \ c=0 \end{array} \right. }

b) {(fog)(0))-g(f(0))=(ac(0)^2+ad+b)-(ca^2(0)^2+2cab(0)+cb^2+d)} { \leftrightarrow (fog)(0)=ad+b -cb^2-d=d(a-1)+b(c-b) }

Exercício 12

Dadas as funções { f(x)=2x+y } e { g(x)=\dfrac{1}{4} },

determinar o produto de { fof } com { gog } sabendo que { a \in N } e { y \in N } e { a \neq y }.

Resolução: Vamos resolver { f(f(x)) } , isto é, composta de { f } por si mesmo, assim temos: { f(f(x))=2(2x+y)+y=2x+3y } e { g(g(x))=\dfrac{a}{4} }

O produto é {(2x+3y)(\dfrac{a}{4})=\dfrac{2ax+3ay}{4}}

como { a } e { y } são números naturais e pares e diferentes, então temos:

fazendo { a=2k } e { y=4k \forall k\in\mathbb{N}} resulta:

{\dfrac{2ax+3ay}{4}=\dfrac{4kx+24k^2}{4}=kx+6k^2}.

Análise Matemática – Limites e Continuidade VII

— 6. Propriedades globais de funções contínuas —

Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja { {I=[a,b] \in \mathbb{R}}} e { {f: I \rightarrow \mathbb{R}}} contínua. Seja { {u \in \mathbb{R}}} tal que { {\inf(I)<u<\sup(I)}}, então existe { {c \in I}} tal que { {f(c)=u}}.

Demonstração: Omitida. \Box

De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.

Corolário 52 Seja { {[a,b]}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Vamos admitir que { {f(a)f(b)<0}}. Então { {\exists c \in ]a,b[}} tal que { {f(c)=0}}.

Demonstração: O contradomínio de { {f}} contém valores maiores que { {0}} e valores menores que { {0}}. Logo { {\sup f(I)>0}} e { {\inf f(I)<0}}. Assim { {0}} está estritamente compreendido entre o ínfimo e o supremo do contradomínio de { {f}}. Por hipótese a função não se anula nas extremidades do intervalo, logo o valor { {0}} tem que ocorrer dentro do intervalo. \Box

Corolário 53 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f:I\rightarrow\mathbb{\mathbb R}}} uma função contínua. Então { {f(I)}} também é um intervalo.

Demonstração: Seja { {\alpha=\inf(I)}} e { {\beta=\sup(I)}}. Por definição de ínfimo e supremo é { {f(I)\subset [\alpha , \beta]}}. Usando o Teorema 51 vem que { {]a,b[\subset f(I)}}. Assim temos quatro possibilidades para { {f(I)}}:

{f(I)=\begin{cases}{\alpha , \beta} \\ ]\alpha , \beta] \\ [\alpha , \beta[ \\ ]\alpha , \beta[ \end{cases}} \Box

Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para { {P(x)=a_nx^n+\cdots +a_1x+a_0}} com { {n}} ímpar e { {a_n > 0}}. Sabemos que é { {P(x)\sim a_nx^n}} para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de { {x}}. Temos { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} P(x)=+\infty}} e { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty} P(x)=-\infty}}.

Uma vez que

  • { {P(x)}} é uma função contínua.
  • O domínio, { {D}} de { {P(x)}} é { {\mathbb{R}}} que é um intervalo.
  • { {\sup(D)=+\infty}} e { {\inf(D)=-\infty}}, o que implica que { {P[\mathbb{R}]=]-\infty, +\infty[}}

Pelo Corolário 52 é { {0\in P[\mathbb{R}]}}. O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um { {0}}.

Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} uma função contínua e monótona. Então { {f^{-1}}} também é contínua e monótona.

Demonstração: Omitida. \Box

Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.

— Arco seno —

No intervalo { {[-\pi/2,\pi/2]}} a função { {\sin x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por {\arcsin}:

\displaystyle y=\sin x\quad\mathrm{com}\quad x\in [\pi/2,\pi/2]\Leftrightarrow x=\arcsin x

Uma vez que temos { {\sin x:[-\pi/2,\pi/2]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arcsin x:[-1,1]\rightarrow [-\pi/2,\pi/2]}}. Usando o Teorema 54 { {\arcsin}} é contínua.

A representação gráfica de { {\arcsin x}} é

É evidente pelo gráfico que { {\arcsin x}} é uma função ímpar.

— Arco tangente —

No intervalo { {]-\pi/2,\pi/2[}} a função { {\tan x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por {\arctan}:

\displaystyle y=\tan x\quad\mathrm{com}\quad x\in ]\pi/2,\pi/2[\Leftrightarrow x=\arctan x

Uma vez que { {\tan x:]-\pi/2,\pi/2[\rightarrow]-\infty,+\infty[}} vem que { {\arctan x:]-\infty,+\infty[\rightarrow ]-\pi/2,\pi/2[}}. Usando o Teorema 54 {\arctan} é contínua.

A representação gráfica de {\arctan} é

É evidente pelo gráfico que {\arctan} é uma função ímpar.

— Arco coseno —

No intervalo { {[0,\pi]}} a função { {\cos x}} é injectiva:

Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por {\arccos}:

\displaystyle y=\cos x\quad\mathrm{com}\quad x\in [0,\pi]\Leftrightarrow x=\arccos x

Uma vez que { {\cos x:[0,\pi]\rightarrow[-1,1]}} vem que { {\arccos x:[-1,1]\rightarrow [0,\pi]}}. Usando o Teorema 54 {\arccos} é contínua.

A representação gráfica de {\arccos} é

Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação

\displaystyle \cos=\sin(\pi/2-x)

para escrever

\displaystyle \arccos y=\frac{\pi}{2}-\arcsin y

— 6.4. Funções contínuas e intervalos —

Teorema 55 Seja { {[a,b]\subset \mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}. Então { {f}} tem um máximo e um mínimo.

Demonstração: Seja { {E}} o contradomínio de { {f}} e { {s=\sup E}}. Pelo Teorema 17 no artigo Análise Matemática – Sucessões II existe uma sucessão { {y_n}} de pontos em { {E}} tal que { {\lim y_n=s}}.

Uma vez que os termos de { {y_n}} são pontos de { {f}}, para cada { {n}} existe { {x_n\in [a,b]}} tal que { {y_=f(x_n)}}.

Uma vez que { {x_n}} é uma sucessão cujo domínio é um intervalo compacto { {[a,b]}}, pelo Corolário 27 sabemos que existe uma subsucessão { {x_{\alpha n}}} de { {x_n}} que converge para um ponto de { {[a,b]}}.

Seja { {c\in [a,b]}}tal que { {x_n\rightarrow c}}.

Uma vez que { {f}} é contínua em { {c}} vem, pela definição de continuidade, que { {\lim f(x_{\alpha n})=f(c)}}. mas { {f(x_{\alpha n})=y_{\alpha n}}}, que é uma subsucessão de { {y_n}}. Visto que { {y_n\rightarrow s}} também é { {y_{\alpha n}\rightarrow s}}.

Mas { {y_{\alpha n}=f(x_{\alpha n})\rightarrow f(c)}}.

Concluindo vem que { {s=f(c)}}, logo { {s\in E}}. Ou seja { {s=\max E}}.

Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. \Box

Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é

Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.

Teorema 56 Seja { {I}} um intervalo compacto de { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Então { {f(I)}} é um intervalo compacto.

Demonstração: Pelo Corolário 53 { {f(I)}} é um intervalo. Pelo Teorema 55 { {f(I)}} tem um máximo e um mínimo.

Assim { {f(I)}} é da forma { {[\alpha , \beta]}}.

Logo { {f(I)}} é um intervalo limitado e fechado, que é a definição de um intervalo compacto. \Box

O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):

Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.

Domínio contradomínio e imagem de função.

— 1. Introdução —

Não existe uma função { f } sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.

Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função { f } : { A \rightarrow B }. Por diagrama, temos:

Definição 1 -Chama-se domínio da função { f }, o conjunto D de todos elementos { x } do conjunto A. Matematicamente, temos:

\displaystyle   D(f)=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert \forall x\in A\rbrace \rightarrow D(f)=A \ \ \ \ \ (1)

Definição 2 – Chama-se contradomínio da função { f }, o conjunto { CD } de todos elementos de { B }. Matematicamente, temos:

\displaystyle   CD(f)=\lbrace y \in \mathbb{R} \vert \forall y \in B \rbrace \rightarrow CD=B \ \ \ \ \ (2)

Definição 3 Chama-se imagem da função { f }, o conjunto { Im } formado por todos elementos { y } de { B } pelos os quais existe { x } em { A }. O conjunto de imagem { Im } é subconjunto do contradomínio { CD } Matematicamente, temos:

\displaystyle   Im(f) \subset CD (f) \ \ \ \ \ (3)

Vamos explicar por diagrama, temos:

— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —

Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.

Resolução

-O domínio é { D(f)=A=(-2,-1,0) }

-O contradomínio é { CD(f)=B=(-3,-2,-1,0,3) }

-A Imagem é { Im(f)=(-2,-1,3) }

Exercício 2

Seja a função { f=2x-1 } de { A=(0,1,4,5) } em { B=(-1,0,1,2,3,5,7,9)},com { x\in A } e { y\in B },

determinar o domínio, o contradomínio e a imagem.

Resolução

– O domínio é { D(f)=A=(0,1.4,5) }

– O contradomínio é { CD(f)=B=(-1,0,1,2,3,5,7,9) }

– A imagem será determinada atribuindo a variável { x } todos os valores do domínio na lei dada, os seus resultados serão as imagens.

logo, temos:

Para { x=0 }, temos: { f(0)=2(0)-1 \leftrightarrow f(0)=0-1 \leftrightarrow f(0)=-1 }

Para { x=1 }, temos: { f(1)=2(1)-1 \leftrightarrow f(0)=2-1 \leftrightarrow f(0)=1 }

Para { x=4 }, temos: { f(4)=2(4)-1 \leftrightarrow f(4)=8-1 \leftrightarrow f(0)=7 }

Para { x=5 }, temos: { f(5)=2(5)-1 \leftrightarrow f(5)=10-1 \leftrightarrow f(5)=9 }

logos, os resultados ou os valores numéricos que determinamos são as imagens. O conjunto é { Im(f)=(-1,1,7,9) }

Vamos ilustrar por diagrama o que acabamos de determinar:

As imagens são todos os elementos do contradomínio ({ CD=B }) indicados pela seta. Assim, temos: { Im=(-1,1,7,9) }

Exercício 3

Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função:

Resolução

– O domínio da função é: { D(f)=A=(-4,-2,0,2) }

– O contradomínio é igual a imagem: { CD=Im=(-1,1,4,5) }

O contradomínio é igual a imagem porque todos os elementos de contradomínio têm ligação com os elementos do domínio como ilustra a figura a cima.

Exercício 4

Seja a relação { f:\mathbb{R \rightarrow \mathbb{N}} } definida por { f(x)=x^{2}+x-2 },

determinar:

{ a) } O domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) } A imagem dos elementos do domínio {-3 } e { -1 }

Resolução

{ a) } { D(f)=\mathbb{R}} claramente.

{ b) } { CD(f)=\mathbb{N}} claramente.

{ c) } Segundo a terceira definição, a imagem deve ser um elemento do contradomínio.

Analisando, temos:

Para { x=-3 }, temos: { f(-3)=(-3)^{2}-3-2 \leftrightarrow f(-3)=9-5 \leftrightarrow f(-3)=4}.

Como { 4\in \mathbb{N}}, então é a imagem de { -3 }

Para { x=-1 }, temos: { f(-1)=(-1)^{2}-1-2 \leftrightarrow f(-1)=1-3 \leftrightarrow f(-2)=-2 }.

Como { -2\notin \mathbb{N}}, então não é a imagem. ou seja { -1 } não tem imagem.

como { -1 } é um elemento do domínio e não tem imagem, então a relação dada nesse caso, também não define a função.

Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.

Exercício 5

Dada a função { f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} de definida por
{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-3 & se \ x\in \mathbb{Z};\\ \dfrac{x-3}{3} & se \ x\notin \mathbb{Z} \end{array} \right. }

Determinar:

{ a) } o domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) f(-6) };

{ d) f(\dfrac{3}{2}) };

{ e) f(0,1)} ;

{ f) f(2) }

Resolução

{ a) } {D(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ b)} { CD(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ c) } Como { -6\in\mathbb{Z} }, temos: { f(-6)=-6+2 \leftrightarrow f(-6)=-4 }.

{ d)} Como { \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} },temos: { f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }.

{ e) } como { 0,1\notin\mathbb{Z}}, temos: { f(0,1)=(0,1)^2 \leftrightarrow f(0,1)=0,01 }

{f) } Como { 2\in\mathbb{R} }, temos: { f(2)=2+2 \leftrightarrow f(2)=4 }

Exercício 6

Na função real { f(x)=x+1 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } , então { f(x)=-3 }. Temos: { -3=x+1 \leftrightarrow x+1=-3 \leftrightarrow x=-3-1 \leftrightarrow x=-4 }

{ -3=x+4 \leftrightarrow x+4=-3 \leftrightarrow x=-3-4 \leftrightarrow x=-7 } logo os elemento do domínio são: { -7 } e { -4 }

Exercício 7

Na função real { \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x+2 & se \ x<2;\\ x^2 & se \ x\geq 2 \end{array} \right. } determinar o elemento do domínio cuja imagem é { 6 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } e como { 6 } é imagem da função, temos: { f(x)=6 }.

Temos:

{ 6=x^2-3 \leftrightarrow x^2-3=6 \leftrightarrow x^2=6+3 \leftrightarrow x^2=9 \leftrightarrow x=\pm 3 \Longleftrightarrow x_{1}=3} não satisfaz porque não está no intervalo { x<2 } e {x_{2}=-3 }satisfaz porque está ao intervalo referido.

{ 6=\dfrac{x-3}{3} \leftrightarrow \dfrac{x-3}{3}=6 \leftrightarrow x-3=18 \leftrightarrow x=21} satisfaz porque está no intervalo definida pela própria função dada que é { x\geq 2 }

logo os elemento do domínio são: { -3 } e { 21 }

— 3. Determinação da imagem da função quadrática —

Dada a função geral, { f(x)=ax^2+bx+c }

se { a>0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

se { a<0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\leq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

Exercício 8

Determinar a imagem da função { f(x)=x^2+x-20} definida { \mathbb{R} }.

Resolução

{f(x)=x^2+x-20} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=1 }, { b=1 } e { c=-20 }

segundo, vamos determinar o { \vartriangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(1)^2-4(1)(-20) \leftrightarrow \vartriangle=81 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{ 4a} } { = \dfrac{-81}{4}}

Como { a=1 \rightarrow a>0 }, logo:

{ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \geq \dfrac{-81}{4} \rbrace }

Exercício 9

Determinar a imagem da função { f(x)=-3x^2+6x+3} definida em { \mathbb{R}}.

Resolução

{f(x)=-3x^2+6x-3} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=-3 }, { b=6 } e { c=-3 }

Segundo, vamos determinar o { \triangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(6)^2-4(-3)(3) \leftrightarrow \vartriangle=72 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{4a} } { = \dfrac{-72}{-12}=6}

Como { a=-3 \rightarrow a<0 }, logo: { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \leq 6 \rbrace }

Exercício 10 Determinar { k } na função { f(x)=2x^2-5x+k } definida em { \mathbb{R} } para que a imagem seja { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8} \rbrace }

Resolução

Vamos começar da seguinte maneira:

Como { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8}\rbrace \rightarrow \dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8}}.

Como { a=2 }, { b=-5 } e { c=k }, Calculando o { \vartriangle }, temos:

{ \vartriangle=(-5)^2-4(2)(k) \leftrightarrow \vartriangle=25-8k}

Substituir { a=2 } e a expressão anterior na igualdade {\dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8} },

temos: {\dfrac{-25+8k}{8}=\dfrac{7}{8} \leftrightarrow -25+8k=-7 \leftrightarrow 8k=32 \leftrightarrow k=4 }

Mecânica Quântica – Introdução II

Como vimos no artigo Mecânica Quântica – Introdução uma série de resultados experimentais inesperados e em franco desacordo com a vigente toeria clássica forçou os físicos do final do séc. {XIX} e princípio do séc. {XX} a repensarem os princípios e axiomas das teorias física que até então tinham utilizado. Para além disso foi também bastante aparente que o formalismo matemático utilizado até então era desajustado à descrição dos fenómenos que se apresentavam. O objectivo deste artigo é fazer uma introdução a estes novos princípios e concepções.

— 20.5. Observação e medição em Mecânica Quântica —

Já vimos que no domínio de validade da Mecânica Quântica devemos sempre tomar em conta as possibilidades reais de medição dos sistemas em estudo. Neste campo devemos ter em atenção duas características importantes. Por um lado o sistema responsável por executar o acto de medição é na maior parte das vezes um sistemas descrito pelas habituais leis clássicas da Física. Por outro lado o sistema em estudo é regido pelas leis da Mecânica Quântica e é da interacção entre o sistema de medição e o sistema em estudo que resulta o nosso conhecimento sobre o mundo quântico.

Assim sendo para sistematizarmos os resultados experimentais numa teoria coerente necessitamos de tecer considerações gerais sobre as propriedades dos sistemas em estudo que resultam do estudo das interacções citadas acima. O sucesso ou fracasso da teoria por nós construida será então medido pelo acerto das nossas previsões teóricas quando confrontadas com resultados experimentais.

Recorrendo novamente ao tema das medições em mecânica quântica é fácil deduzirmos desde já algumas entidades matemáticas que terão que forçosamente fazer parte da nossa teoria Física:

  1. Operadores: Pelo que vimos atrás uma medição permite-nos discernir o valor de uma grande física e podemos sempre realizar as operações de medição de uma uma forma sequencial. Sabemos também que o próprio acto de medição perturba de forma imprevisível o sistema em estudo. Imaginemos então que vamos realizar duas medições que vamos representar pelos símbolos {A} e {B}. Vamos agora pensar que qual será o resultado de realizarmos em primeiro lugar a medição {A} e em segundo lugar a medição {B}. Podemos representar tal como sendo {BA}. Por outro lado podemos tomar a via inversa e em primeiro lugar medir {B} e depois medir {A}, que vamos representar por {AB}.

    Visto que cada medição perturba o sistema de uma forma imprevisível sabemos que em geral não teremos {AB=BA}. Em primeiro lugar temos que dizer que tal acto está em total desacordo com a Mecânica Clássica onde temos sempre {AB=BA}. Em segundo lugar temos que discernir qual é o objecto matemático que nos permite representar as grandezas físicas para que possamos ter {AB \neq BA}.

    Tal desigualdade é perfeitamente possível quando usamos operadores em vez de utilizarmos números reais . Para além disso vimos também que para as experiências realizadas era sempre válido o Princípio de Sobreposição. Assim sendo os operadores que vamos utilizar serão operadores lineares.

  2. Probabilidades: como já foi visto o resultado das medições é imprevisível. Ora isto indica que a teoria quântica irá utilizar de forma extensiva o formalismo de probabilidades e estatística.

  3. Funções de estado: Já vimos que vamos utilizar operadores para representar o acto de medição. Sabemos também da matemática que os operadores agem sobre funções. Por último já vimos que o acto de medição perturba o estado físico de um dado sistema. Assim sendo vemos que é necessário a introdução de funções que descrevam o estado físico de um sistema. Estas funções são chamadas de funções de estado (ou ainda funções de onda).

— 21. Algumas experiências fundamentais —

Antes de apresentarmos de uma forma sistemática as definições iniciais e os axiomas com que vamos construir a Mecânica Quântica pretendemos apresentar um conjunto de experiências que tornam plausíveis a introdução destas novas definições e axiomas.

— 21.1. Existência e estabilidade dos átomos —

De acordo com a teoria clássica do Electromagnetismo uma carga eléctrica que descrevesse um movimento acelerado deveria perder energia sobre a forma de radiação electromagnética. Uma vez que o electrão descreve um movimento curvilíneo em torno do núcleo ele deveria emitir radiação diminuindo a sua distância ao núcleo num processo contínuo até que embatesse no núcleo. Se tal acontece os átomos não seriam estáveis.

No entanto o que nós observamos é que os electrões não podem ocupar uma distância qualquer face ao núcleo estando limitados a distâncias definidas sendo que só podiam transitar de uma distância para outra distância emitindo ou absorvendo um quantum de energia electromagnética.

Empiricamente foi determinado por Balmer que a fórmula que descreve a energia de transição entre diferentes níveis atómicos é

\displaystyle  E_{nm}\propto \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2} \right)

Sendo que a energia é positiva quando o electrão absorve energia e transita para um nível de energia mais elevado e é negativa quando o electrão emite energia e transita para um nível de energia mais baixo.

Por forma a explicar a estabilidade dos átomos no contexto da Teoria Quântica Inicial temos os postulados de BohrSommerfeld:

  1. As trajectórias permitidas aos electrões em torno do núcleo de um átomo são discretas.
  2. Nestas trajectórias os invariantes adiabáticos são quantizados.

    \displaystyle  \oint \vec{p}\cdot d\vec{r}=2\pi\hbar n

  3. Uma transição de um electrão de um nível de energia para outro nível de energia só pode ocorrer se o fotão absorvido ou emitido tiver uma energia igual à diferença de energia entre os níveis.

— 21.2. Efeito Fotoeléctrico —

Como já foi dito Einstein foi capaz de demonstrar que a variação de entropia de um corpo negro era análoga á variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Deste modo é perfeitamente natural concluir que a energia associada à luz é composta por pacotes de energia e não só que é emitida e absorvida em pacotes de energia discretos como tinha assumido Planck aquando da sua derivação para a equação de distribuição de energia de um corpo negro.

Ora esta conclusão de Einstein permitia explicar de uma forma muito elegante o efeito fotoeléctrico. Sabemos que Hertz estabeleceu que placas metálicas quando iluminadas por luz ultravioleta emitiam cargas eléctricas negativas. Posteriormente J.J. Thomson demonstrou que as partículas carregadas negativamente eram electrões.

Finalmente temos Lenard que através de várias experiências conseguiu descobrir um conjunto de factos experimentais muito importantes sobre os electrões emitidos através do efeito foto-eléctrico. Ele descobriu que os electrões eram emitidos com um conjunto contínuo de valores possíveis para a energia cinética e que a energia cinética máxima, {K_{\mathrm{max}}}, dos electrões não dependia da intensidade da luz. Lenard foi também capaz de discernir que a energia cinética máxima era directamente proporcional à frequência da luz. Finalmente para cada material estudado havia uma frequência mínima abaixo da qual não se observava a libertação de electrões. Finalmente Lenard observou também que o intervalo de tempo entre a radiação da placa metálica com a luz e o início de medição de uma corrente é muito inferior às previsões clássicas.

Do ponto de vista da teoria electromagnética que via a luz como sendo uma onda que se propagava tais resultados experimentais não faziam sentido. No entanto Einstein tomou como ponto de partida os seguintes factos:

  1. A luz é constituída por corpúsculos
  2. A energia de cada corpúsculo depende da frequência da luz (conceito este que é inerentemente ondulatório) através da seguinte relação

    \displaystyle E=\hbar\omega

Se tomarmos como hipótese o facto de que os electrões estão ligados à placa por uma energia de ligação e que para vencer essa energia de ligação a energia do fotão que incide tem que ser superior à energia de ligação, {W} também chamada de função de trabalho, (na linguagem do átomo de Bohr-Sommerfeld dizemos que o electrão transita para {m=+\infty}) do electrão ao material imediatamente entendemos que no contexto em que a luz é composta por corpúsculos a explicação dos três factos citados é imediata.

Em primeiro lugar percebemos logo porque não há libertação de electrões quando a frequência está abaixo de um determinado valor. Em segundo lugar entendemos também que uma vez que a libertação de um electrão se dá devido a um choque com um fotão e não à absorção de radiação que se consiga medir imediatamente a corrente eléctrica desde que a frequência seja suficientemente alta.

Resumindo a equação que explica o efeito fotoeléctrico segundo Einstein é

\displaystyle K=\hbar\omega-W

— 21.3. Experiência de Stern-Gerlach —

Após discutirmos de forma breve os resultados experimentais anteriores vamos agora olhar para a experiência de SternGerlach. Esta experiência foi realizada em 1922 e de certa forma é a experiência mais simples que podemos fazer e que mais nos revela sobre o que é a Mecânica Quântica.

Na experiência original átomos de prata eram aquecidos dentro de um forno para que a sua distribuição de momentos magnéticos fosse aleatória. Após isso as partículas eram expelidas do forno sendo sujeitadas a um colimador para que tivessem a mesma direcção {z}. Após passarem pelo colimador as partículas eram sujeitadas a um campo magnético não homogéneo. A interacção com este campo electromagnético não homogéneo fazia com que aparecesse uma força resultante não nula que interagia com o momento magnético dos átomos de prata de tal forma que cada átomo sofreria uma deflexão. Finalmente as partículas deflectidas atingiam um alvo e a sua posição final era determinada.

De acordo com a teoria clássica estamos a espera que os átomos de prata tenham uma distribuição perfeitamente aleatória dos seus momentos magnéticos após saírem do forno. Assim sendo esperamos que os momentos magnéticos tenham valores desde o perfeito alinhamento com a força magnética resultante até ao perfeito anti-alinhamento com a força magnética. Se isto fosse verdade veríamos que no alvo final os átomos estariam distribuídos ao longo de uma mancha:

No entanto a Natureza tem uma surpresa para nós e o resultado observado é

Ao invés de observarmos uma distribuição contínua vemos que os átomos estão dispostos em duas manchas, como se os únicos valores permitidos para os seus momentos magnéticos fossem estar paralelos ao campo magnético não homogéneo ou então serem anti-paralelos ao campo magnético não homogéneo.

— 21.3.1. Análise matemática à experiência de Stern-Gerlach —

Após a discussão qualitativa da secção anterior à experiência de Stern-Gerlach vamos agora fazer uma análise mais quantitativa.

Um átomo de prata é constituído por um núcleo de protões e neutrões e {47} electrões. Destes electrões sabemos que {46} formam uma nuvem electrónica esfericamente simétrica com um momento angular globalmente nulo.

Assim sendo o momento angular total de um átomo de prata deve-se ao spin do último electrão, que vamos representar por {S} (nesta discussão podemos desprezar o spin do núcleo). Deste modo podemos dizer que o momento magnético do átomo, que vamos representar por {\mu}, se deve ao momento magnético do spin do electrão isolado:

\displaystyle  \mu \propto S

Sabemos que a energia de interacção do momento magnético com o campo magnético {B} é

\displaystyle  -\mu \cdot B

Uma vez que as partículas se deslocam ao longo do eixo {z} a componente da força segundo esse eixo é

\displaystyle  F_z=\frac{\partial}{\partial z}(-\mu \cdot B)\approx \mu _z \frac{\partial B_z}{\partial z}

De acordo com o aparato experimental que discutimos a experiência de Stern-Gerlach mede a componente {z} de {\mu}, ou, dito de forma perfeitamente equivalente, mede a componente {z} de {S} a menos de uma factor de proporcionalidade.

Vemos então que na perspectiva clássica estaríamos a espera de ver que os valores de {\mu _z} distribuídos entre {-|\mu|} e {|\mu|}, o que é a banda contínua que vemos na primeira figura.

No entanto o que observamos é que os valores tomados pelos átomos de prata somente podem ser {-|\mu|} e {|\mu|} (fenómeno chamado de quantização do espaço na Primeira Teoria Quântica). Visto que {\mu} pode ser identificado com {S} a menos de uma factor de proporcionalidade isto quer dizer que o spin de um electrão {S} só pode tomar dois valores distintos para a sua componente {z}.

Claro que o facto de termos escolhido o eixo {z} nada tem de especial e como tal podíamos ter escolhido {x} ou {y} como sendo a direcção de propagação dos átomos. Assim sendo podíamos ter analisado as componentes {S_x} ou {S_y} do spin do electrão e ter chegado à conclusão que a interacção com o campo magnético separaria as componentes em análise em somente duas opções.

Assim sendo a experiência de Stern-Gerlach permite-nos deduzir uma propriedade muito importante do spin do electrão:

O spin do electrão é uma grandeza quantizada.

— 21.3.2. Experiências de Stern-Gerlach sequenciais —

De forma a podermos ganhar mais conhecimento sobre os fenómenos quânticos vamos agora analisar o que acontece a um feixe de átomos após ser sujeito a passar por várias experiências de Stern-Gerlach (ESG) que estão dispostas de forma sequencial.

Vamos supor que após realizarmos a primeira ESG utilizamos uma barreira que não permite a passagem de átomos que estejam no estado {S_{z^-}}. Assim sendo, se realizarmos uma segunda ESG no feixe de átomos resultante segundo o eixo {z} estamos à espera de somente observar {S_{z^+}}. E o resultado experimental é:

o que confirma a nossa suspeita.

Queremos agora analisar o que acontece quando fazemos duas ESG sequenciais mas sendo que elas dizem respeito a leitura do spin do electrão segundo eixos diferentes. Em primeiro lugar vamos fazer o feixe do de átomos passar por uma ESG segundo o eixo {z} para depois passar por uma ESG segundo o eixo {x}. Neste caso assumimos que os eixos {x} e {z} são independentes entre si e como tal esperamos encontrar {S_{x^+}} e {S_{x^-}}, sendo que ambas as hipóteses são equiprováveis. Após realizarmos a experiência é este o resultado:

Para terminar vamos alisar o que acontece após realizarmos {3} ESG sequenciais. As duas primeiras ESG são as que realizámos no exemplo anterior com o pormenor adicional que desta vez bloqueamos a componente {S_{x^+}} após a segunda ESG. Uma vez que tínhamos inicialmente bloqueado a componente {S_{z^-}} estamos a espera do só encontrarmos {S_{z^+}} após a terceira ESG.

No entanto é isto o que a Natureza nos reserva:

Este resultado é totalmente surpreendente. Como podemos nós estar novamente a observar {S_{z^-}}?!

Segundo parece a Mecânica Quântica está a dizer-nos que não podemos determinar {S_z} e {S_x} simultaneamente (à semelhança de não podermos determinar simultaneamente a posição e momento linear de uma partícula), pois o facto de termos determinado de forma absoluta qual a componente de {S_x} destruiu a informação que tínhamos sobre {S_z}.

É claro nos exemplos apresentados que a situação retratada não se deve à limitações experimentais e é sim uma característica fundamental da Mecânica Quântica.

Para além disso podemos também ver com estas experiências que nunca somos capazes de determinar exactamente qual será a componente de {S_z} que vamos observar para um átomo individual. O que podemos sim é determinar que cada componente tem uma probabilidade de {50 \%} de ser medida.

— 3. Hidrodinâmica. —

 

— 3.1. Introdução. —

A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. É um dos ramos mais complexos da Mecânica dos Fluidos, como se pode ver nos exemplos mais corriqueiros de fluxo, como um rio que transborda, uma barragem rompida, o vazamento de petróleo e até a fumaça retorcida que sai da ponta acesa de um cigarro. Embora cada gota água ou partícula de fumaça tenha o seu movimento determinado pelas leis de Newton, as equações resultantes podem ser complicadas demais. Felizmente, muitas situações de importância prática podem ser representadas por modelos idealizados, suficientemente simples para permitir uma análise detalhada e fácil compreensão. [2]

O movimento de fluidos reais é muito complexo e difícil de analisar, dado os vários parâmetros envolvidos. A sua análise fica matematicamente muito complexa. Por isso, para analisar o movimento de um fluido, muitas vezes recorre-se a simplificações, de modos a reduzir a sua complexidade. A simplificação mais comum é a de considerar o movimento (escoamento) de um fluido ideal. Um fluido ideal é um fluido incompressível (a sua densidade não varia, {\rho= const.}), que não possui viscosidade ({\eta =0}). Os líquidos são poucos compressíveis, pelo que, no geral podem ser considerados incompressíveis. Os gases também podem ser considerados incompressíveis, desde que as diferenças de pressão nos diferentes pontos do escoamento em questão não sejam muito elevadas. O atrito interno de um fluido (viscosidade) pode originar tensões de cisalhamento quando este fluido escoa em um tubo ou escoa em torno de um obstáculo. Mas esta tensão de cisalhamento pode ser desprezada quando são muito menores em comparação com as diferenças de pressão ou com forças oriundas da gravidade. Os diferentes tipos de escoamento podem ser vistos na figura 14.

Figura 14: Classificação do Escoamento. [1]

— 3.2. Linhas de Fluxo. —

Quando um fluido escoa, as várias partículas do fluidos se movimentam em trajectórias distintas, denominadas linhas de corrente. As linhas de correntes ou linha de fluxo são as linhas descritas pela trajectória das partículas de fluido.

Figura 15: Linhas de corrente de um fluido que escoa em torno de uma bola. [1]

Na figura 15, ilustramos as diversas linhas de corrente ou linhas de fluxo de um fluido que escoa em torno de uma bola. Neste exemplo há um fluxo laminar.

Quando as linhas de corrente de um determinando escoamento não se alteram ao longo do tempo, ou seja, em cada ponto, os parâmetros do fluxo ou escoamento (como velocidade, pressão, etc. ) têm sempre o mesmo valor, o escoamento é chamado de escoamento estacionário ou escoamento permanente. Ao dizermos que os parâmetros do fluxo em cada ponto é igual, não queremos dizer que cada partícula de fluido movimenta-se com velocidade ou pressão constante. Estamos apenas a dizer que todas as partículas de uma certa linha de corrente, quando passam no mesmo ponto A (cada uma num momento diferente) têm a mesma velocidade e pressão. Quando estas mesmas partículas passarem por um ponto B qualquer, poderão ter uma velocidade diferente da que tinham no ponto A.

É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo – isto é o caso de escoamento não-estacionário. No escoamento permanente a posição das linhas de corrente não muda no tempo.[1]

A velocidade da partícula em cada ponto é sempre tangente à linha de corrente.

Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas de corrente onde o fluido escoa (Figura 16). Esta superfície tubular é conhecida como tubo de corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel):

Figura 16: Tubo de corrente tridimensional e bidimensional. [1]

As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto, o fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode frequentemente ser visto como um tubo de parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo, no sentido material. É diferente, porque neste caso a “parede” (tubo de corrente) está movendo-se com o fluido.

— 3.3. Escoamento Laminar e Turbulento. Número de Reynolds. —

Dependendo de certas condições, o escoamento pode ser laminar ou turbulento.

Escoamento laminar é aquele que ocorre como se as camadas de fluido deslizassem uma sobre as outras. O escoamento laminar se caracteriza pelo movimento suave e em lâminas ou camadas de fluidos. É um escoamento estacionário. É o escoamento típico de fluidos viscosos. Exemplo: Retirada suave do óleo de um recipiente para o outro, uma esfera movendo-se suavemente sobre o óleo, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o nome laminar) cada uma delas preservando sua característica no meio. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade. [5]

Figura 17: Escoamento laminar. A água saindo leve e suavemente na torneira. [6]

Figura 18: Escoamento laminar de um fluido em torno de um obstáculo. Visualização das linhas de corrente. [6]

O escoamento turbulento é caraterizado por movimentos aleatórios, tridimensionais de partículas fluidas adicionadas ao movimento principal. Neste caso, são observados turbilhões no fluxo do fluido. As linhas de corrente se cruzam e dão origem há um movimento desordenado das partículas de fluido. Um exemplo disto são as correnteza fortes de água nos rios, as ondas do mar, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa.

As flutuações aleatórias e tridimensionais da velocidade transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do escoamento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma nos escoamentos turbulentos não existe uma relação universal entre o campo de tensões e o campo de velocidades.

Figura 19: Escoamento turbulento. Fluxo de água com alta velocidade. [5]

O cientista britânico Osborne Reynolds realizou experiências que permitiram visualizar os diferentes regimes de escoamento numa tubulação. Ele introduziu uma grandeza adimensional, denominada número de Reynolds, que se estabelece como condição para existência de turbulência em um escoamento. O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões.

Para o escoamento de um fluido num tubo de secção transversal circular, o número de Reynolds é determinado pela equação:

\displaystyle Re= \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\eta} \ \ \ \ \ (17)

Onde: { \rho} é a massa específica. {v} é a velocidade do escoamento. {d} é o diâmetro do tubo. {\eta} é a viscosidade dinâmica.

Dependendo do valor do Número de Reynolds, no escoamento em tubos podemos ter:

  • Escoamento Laminar – Re Escoamento de Transição – 2000<Re Escoamento Turbulento – Re>2400.

Figura 20 :a) Escoamento laminar da água. b) Escoamento turbulento da água. c) Escoamento da Fumaça. Começa laminar, mas depois torna-se turbulento. [7]

— 3.4. Equação de Continuidade —

Se partirmos do principio que no escoamento num dado sistema a massa do fluido se conserva, então poderemos deduzir, a partir deste princípio um equação muito importante denominada equação de continuidade. Se consideramos um escoamento de um fluido ideal (não viscoso), incompressível e irrotacional, cujo fluxo seja laminar, então as partículas de fluido não poderão atravessar as paredes de um tubo de corrente, visto que a sua velocidade é sempre tangente a estas.

Figura 21: Tubo de corrente com área de secção transversal variável.  [7]

Pelas hipóteses consideradas acima, a massa que entra no tubo de corrente {dm_1}, numa região onde a área é {A_1} num certo intervalo de tempo {dt} deve ser igual à massa que sai do tubo {dm_2} no mesmo intervalo de tempo, mas numa outra região onde a área é {A_2}. Neste caso podemos escrever:

\displaystyle dm_1=dm_2 \Rightarrow \rho dV_1 = \rho dV_2 \ \ \ \ \ (18)

O volume do fluido que entra e que sai pode ser determinado pela velocidade do movimento do fluido, logo:

\displaystyle dV_1 = A_1 \cdot v_1 \cdot dt , dV_2 = A_2 \cdot v_2 \cdot dt \ \ \ \ \ (19)

. Então, como {\rho dV_1 = \rho dV2 \Rightarrow dV_1=dV_2} então {A_1 \cdot v_1 \cdot dt = A_2 \cdot v_2 \cdot dt}. Eliminando {dt}, ficamos com:

\displaystyle A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (20)

O parâmetro, chamado de vazão volumétrica, é definido por:

\displaystyle R_v = \frac{dV}{dt}=A\cdot v \ \ \ \ \ (21)

Ele representa a taxa de volume que atravessa uma secção transversal de um tubo por unidade de tempo. A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo e é definida como sendo o produto da vazão volumétrica pela densidade:

\displaystyle R_m = \frac{dm}{dt}= \rho \cdot A\cdot v \ \ \ \ \ (22)

Para o caso de um fluido compressível, a densidade pode variar ao longo do escoamento. Neste caso, a equação de continuidade fica:

\displaystyle \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (23)

— 3.5. Equação de Bernoulli —

Como vimos anteriormente, a equação 11, que se refere à variação no interior de um fluido, só é aplicável quando o fluido é estático, o que nos pode levar a pensar: como varia a pressão no interior de um fluido em movimento?

A resposta a esta questão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade e é denominada Equação de Bernoulli.

Figura 22: Tubo de corrente com área de secção transversal variável. Equação de Bernoulli . [7]

Se considerarmos que as duas regiões {a} e {c} têm pressões diferentes {p_1} e {p_2}, então o trabalho realizado por estas forças sobre o fluido será:

\displaystyle dW= F_1 ds_1 - F_2 ds_2 \ \ \ \ \ (24)

A força {F_2} é negativa porque ela tende a opor-se ao deslocamento (ver figura 22). Como {F = p\cdot A} então:

\displaystyle dW=p_1 \cdot A_1 ds_1 - p_2 \cdot A_2 ds_2 = (p_1 - p_2 ) dV. \ \ \ \ \ (25)

O trabalho {dW} realizado pelas forças não conservativas, de acordo com a lei do trabalho-energia, deve ser igual à variação da energia mecânica do sistema.

A energia mecânica tem duas componentes: a energia cinética ({K}) e a Energia potencia ({U}).

A variação da energia cinética num intervalo de tempo {dt} será: {dK= \frac{m_2 . (v_2)^2}{2} - \frac{m_1 . (v_1)^2}{2}}. Para fluidos incompressíveis, e tendo em conta a equação de continuidade, teremos:

\displaystyle dK= \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) \ \ \ \ \ (26)

A variação da energia potencial será

\displaystyle dU= dm.g(y_2-y_1)=\rho.dV.g.(y_2-y_1) \ \ \ \ \ (27)

A lei trabalho-energia impõe que {dW=dK+dU \Rightarrow (p_1 - p_2 ) dV = \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) + \rho.dV.g.(y_2-y_1) }. Eliminando {dV}, temos:

\displaystyle p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2-v_1^2) + \rho.g.(y_2-y_1) \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (28)

A Equação de Bernoulli estabelece a variação da pressão em um fluido em movimento em função da variação da velocidade e da variação da altura.

Num tubo horizontal com áreas diferentes {A_1} e {A_2}, onde um fluido se move com uma vazão constante, a pressão será maior nos pontos onde a área for menor, pois onde a área for menor, a velocidade será maior ( de acordo com a equação de continuidade).

 

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

Pressão absoluta e pressão manométrica

— 2.6. Pressão absoluta. Pressão Manométrica. Manómetros, Barómetros. —

Para algumas grandezas em hidrostática, tais como em algumas grandezas em Mecânica, muitas vezes o que tem importância é a variação de uma grandeza, ou seja, a diferença entre o valor desta grandeza em dois pontos diferentes e não o valor da grandeza em si. Um exemplo é a consideração de que a energia potencial de um corpo é {E_p=m.g.h}. O mesmo ocorre com a pressão: em muitos fenómenos, o que realmente nos interessa é a diferença entre os valores de pressão dos dois pontos e não o valor efectivo da pressão em cada ponto. Por isso, introduzimos o conceito de pressão absoluta e de pressão manométrica.

A pressão absoluta é a pressão total de um certo ponto ou lugar, ou seja, é o somatório de todas as contribuições para o aumento da mesma. A sua determinação depende de diversos factores que podem provocar um aumento de pressão no sistema. Para um ponto no interior de um fluido, já vimos que {p_{abs} = p_{ext} + \rho . g . \Delta h }. Se a parte externa for o meio ambiente, então {p_{ext}=p_a}.

O princípio de Stevin estabelece a diferença de pressão entre dois ponto de um fluido: {\Delta p = \rho . g . \Delta h }. Este valor é conhecido como pressão manométrica, pois é a pressão indicada pelos manómetros. A pressão manométrica entre dois pontos de um mesmo fluido, mas com profundidades diferentes {h_1} e {h_2} é:

\displaystyle p_{m}=\rho.g.\Delta h \ \ \ \ \ (15)

Podemos então afirmar que:

\displaystyle p_{abs}=p_a+p_m \ \ \ \ \ (16)

A pressão absoluta sempre é positiva ({p_{abs}\geq 0}), mas a pressão manométrica pode ser positiva (em locais com pressão superior à pressão atmosférica), ou negativa (em locais onde a pressão é inferior à pressão atmosférica).

Para determinar a diferença de pressão entre dois pontos de um sistema qualquer, são muitas vezes empregues os manómetros de líquido. Um manómetro de líquido muito simples pode ser um tubo é U contendo um líquido. Usando um tubo em U, podemos medir a pressão de líquidos e gases.

O manómetro em U é conectado como na figura 2, sendo preenchido com um fluido chamado fluido manométrico. O fluido cuja pressão será medida deve ter uma massa específica menor que a do fluido manométrico. Os fluidos não devem misturar-se. Como vimos, uma das consequências da variação da pressão em um fluido, é que a pressão em dois pontos do fluido com mesma profundidade (ou quota) é igual. Portanto, na figura 12, a pressão manométrica do fluido no ponto B será: {p_B=p_C}. Sabemos que: {p_C=p_a + \rho_{man}.g.h_2}

Figura 12: Manômetro em U.[1]

Neste caso, se quisermos saber o valor da pressão no ponto A, começaremos por estabelecer a relação entre as pressões nos pontos A e B:

{p_B=p_A+\rho.g.h_1 \Rightarrow p_A=p_B - \rho. g .h_1}.

Como {p_B=p_C} e {p_C= p_a +\rho_{man}.g.h_2}, então:

{p_A=p_a +\rho_{man}.g.h_2 - \rho. g .h_1}.

Se quiséssemos somente a pressão relativa, esta seria: {p_A=\rho_{man}.g.h_2 - \rho. g .h_1}.

A experiência de Torricelli possibilitou a construção de outro instrumento para medição de pressão atmosférica, ou para medição da pressão num dado local, que é o barómetro, que é na verdade uma variante do manómetro. Ele foi obtido pegando-se um tubo capilar aberto em apenas uma extremidade. Enche-se o tubo capilar com mercúrio e tapa-se. Em seguida coloca-se o tubo capilar invertido num outro recipiente com mercúrio e retira-se a tampa. Vai se observar que o nível de mercúrio no capilar vai descer um bocado, originando um vácuo na extremidade fechada do capilar.

Figura 13: Barómetro. [2]

A diferença entra a pressão da parte fechada do capilar ({p=0Pa}, Vácuo) e a pressão no local será definida pela altura da camada de mercúrio desde a superfície livre (no ambiente exterior) até ao ponto onde se fez o vácuo (no capilar).

Na sua experiência, Torricelli obteve o valor de {p_a = 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}.

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

A Óptica do dia-a-dia

— 2.2. Conceitos básicos fundamentais de Óptica Geométrica. —

Já vimos que a luz é onda electromagnética, e no espectro electromagnético, vimos que não existem luz branca e nem luz preta, ou seja, não há no espectro da luz visível cor branca, nem preta. Porquê?

O espectro da luz visível apresenta apenas as ondas com c.d.o. de { 400 nm} a {700 nm} (de {400} a {700\times10^{-9} m}), com frequências correspondentes a aproximadamente {750 THz} a {430 THz} (de {7,5} a {4,3 \times 10^{14} Hz}). Diferentes partes do espectro visível provocam nos seres humanos sensações de cores diferentes. Nem todos distinguem as cores da mesmas forma.

Os comprimentos de onda para cores no espectro visível são fornecidos (de forma muito aproximada ) na lista abaixo:

  • De 400 a 440 nm – Violeta.
  • De 440 a 480 nm – Azul.
  • De 480 a 560 nm – Verde.
  • De 560 a 590 nm – Amarelo.
  • De 590 a 630 nm – Laranja.
  • De 630 a 700 nm – Vermelho.

De modo geral, quanto a composição ou espectro, um feixe de luz pode ser monocromático ou policromático. O termo “croma” é usado para transmitir a ideia de cor.

Um feixe monocromático é aquele feixe que contem vários ondas electromagnéticas, mas de um único comprimento de onda (c.d.o.). Um feixe policromático é um feixe que é constituído de várias ondas com diferentes comprimentos de onda. A maioria das fontes ordinárias são fontes policromáticas. Ex: Lâmpadas incandescentes, Lâmpadas Fluorescentes, etc. Muitas vezes, até as lâmpadas que emitem luz de uma certa cor (por exemplo, verde) são policromáticas. Elas emitem, na verdade, ondas de diferentes c.d.o., sendo que o comprimento de onda médio ou o comprimento de onda dominante é o que corresponde a cor verde.

Poderíamos nos questionar: como sabemos que são policromáticas?

Existem muitos experimentos para separar as várias ondas luminosas de diferentes comprimentos de onda. Um dos experimentos mais clássicos é o prisma, experiência feita por Isaac Newton, que provou que a luz branca não é monocromática, mas sim um feixe policromático formado pela sobreposição de diversas ondas com os mais variados comprimentos de onda. Outra forma é usando redes de difração, que veremos em capítulos posteriores.

Figura 16: Dispersão da luz branca num prisma.

Todo feixe de luz branca é policromático. Para obteres um feixe de luz branca, precisas de pelo menos luz vermelha, luz verde e luz azul. Com um feixe policromático com este conjunto de cores, através do modelo conhecido como RGB (Red, Green, Blue), consegue-se reproduzir satisfatoriamente muitas das cores do espectro da luz visível. Isto é aplicado nos televisores a cores e outros display’s, bem como na iluminação de espetáculos e outros.

E quanto a cor preta?

Não existe luz preta. o termo preto (escuro) é usado para designar a ausência de luz. Repare que quando fechamos os olhos, ou quando estamos num local sem luz, não conseguimos ver. Dizemos que está escuro.

E as luzes negras? As chamadas luzes negras são apenas fontes de luz que emitem comprimento de ondas próximos do ultravioleta, que a maioria dos objectos não consegue refletir, excepto os objectos brancos. As Fontes de luz podem ser classificadas em:

  • Fontes primárias – são os corpos que emitem luz produzida por eles mesmos (corpos luminosos). Ex: O Sol, a chama de uma vela, lâmpadas elétricas, etc.
  • Fontes secundárias – são os corpos que reenviam para o espaço a luz que recebem de outros corpos (corpos iluminados). Ex: Lua, parede, roupas, etc.

Um conjunto de raios de luz constitui um feixe de luz. Este pode ser convergente, divergente ou paralelo.

Figura 17: Feixes convergentes, divergentes e paralelos.

Considere um feixe de raios paralelos propagando-se num meio (1) (por exemplo, ar) e incidindo sobre a superfície plana {S} de separação de um meio (2) (por exemplo, água, papel, chapa metálica polida, etc.). Vimos que dependendo da natureza do meio (2) e da superfície S, ocorrem simultaneamente, com maior ou menor intensidade, os seguintes fenómenos: reflexão, refração e absorção. Em função do tipo de superfície de separação, a reflexão pode ser:

  • Reflexão regular: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio (1) incide sobre a superfície S e retorna ao meio (1), mantendo o paralelismo. É o que acontece, por exemplo, sobre a superfície plana e polida de um metal.
  • Reflexão difusa: o feixe de raios paralelos que se propaga no meio (1) incide sobre a superfície S e retorna ao meio (1), perdendo o paralelismo e espalhando-se em várias direções. A difusão é devida as irregularidades da superfície. A reflexão difusa é responsável pela visão dos objetos que nos cercam. Por exemplo, vemos uma parede porque ela reflete difusamente para nossa vista a luz que ela recebe, não importando a posição onde nos encontremos. Ela espalha os raios de luz para todas as direcções.

Figura 18: Reflexão regular.[1]

Figura 19: Reflexão difusa. [1]

Se o segundo meio for transparente, dependendo do angulo de incidência, e dos índices de refração, poderá ocorrer também a refração.

Figura 20: Refracção. [1]

Os meios onde a luz se refrata podem ser classificados em :

  • Transparentes: Permitem a passagem de luz. Os objetos são vistos com nitidez. há uma refração regular. Ex: vidro comum, água em pequenas camadas, o ar, etc.
  • Translúcidos: permitem a passagem parcial da luz, ocasionando a formação de uma imagem sem nitidez. Há uma refração difusa. Ex: vidro fosco, papel vegetal, etc.
  • Opacos: não permitem a passagem de luz. apenas ocorre a reflexão e a absorção, ou só uma delas. Ex: madeira, concreto, etc.

Figura 21: Tipos de meios (a) Trasnparentes, (b)Translúcidos e (c) Opacos. [1]

Como a Óptica explica a cor dos objectos? De acordo com o tema anterior, sempre que a luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios, parte da luz incidente reflete-se, outra parte refrata-se e outra parte é absorvida, dependendo das propriedades das substâncias que constituem estes meios.

Existem alguns corpos que têm capacidade de refletir todas as cores do espectro visível. Estes objectos são ditos, objectos de cor branca. Porquê? Porque são os únicos que conseguem, ao incidir luz branca sobre eles, refletir um feixe com a mesma cor branca. Um objecto branco reflete a cor exacta do do feixe que inside sobre ele. Se fores num local escuro e incidires luz vermelha sobre ele, ele vai parecer vermelho (vai refletir a cor vermelha). O mesmo acontece com todas as outras cores.

Já um objecto colorido (por exemplo, vermelho), sempre que um feixe de luz incide sobre ele, ele apenas reflete as ondas cujo comprimento de onda corresponde ou se avizinha ao que ele tem capacidade de refletir. Absorve todos outros c.d.o’s. Quando um objecto vermelho, por exemplo recebe luz branca, só reflete a componente vermelha e absorve todas as outras. Quando incide luz azul monocromática sobre ele, absorve tudo e não reflete nada.

Um objecto preto é aquele que apresenta um baixo coeficiente de reflexão, ou seja, absorve quase toda a radiação que incide sobre ele. Por isso é que a roupa preta aquece mais do que a roupa branca.

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I,  FATEC-SP, [s.d.].

[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].

[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].

[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].

[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, (2009)

[6] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, (2009)

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