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DOMÍNIO DE FUNÇÃO

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Definição 1

Seja a função {y=f(x)} de {A} em {B} . { D } é o domínio da função, ao conjunto de todos os elemento de { x \in A } pelos os quais existe { y \in B }.

Matematicamente, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \rightarrow D=A \ \ \ \ \ (1)

Exercício 1 Seja a função { f(x)=x^2 +2x-1} de { A=(-2,0,1,2,3)} e { B=(-1,0,1,3,4,14, 20,23)}, determinar o seu domínio.

Resolução

O domínio dessa função é { D=A \rightarrow D=(-2,0,1,2,3) }.

Definição 2 Dada a função {y=f(x)}. Chama-se domínio ao conjuntos de valores reais de { x } para os quais a função está definida.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \ \ \ \ \ (2)

No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição

— 1. Determinação de domínio de diversas funções —

Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.

Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}- \lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}/\lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x \leq b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x < b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x < b \rbrace}

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x \leq b \rbrace }

ou simplesmente { D=\mathbb{R} }

{ \forall a \in \mathbb{R} } e { \forall b \in \mathbb{R} }

Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.

Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.

— 2. Domínio da função polinomial —

Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0} \ \ \ \ \ (3)

{ D=\mathbb{R}}

Exercício 2

Determinar o domínio da função {f(x)=2x-3}

Resolução:
O domínio é { D=\mathbb{R} }
Quando se trata de um polinómio o domínio é imediatamente o conjunto dos números reais ou simplesmente { \mathbb{R} }

Exercício 3 Determinar o domínio da função {f(x)=\dfrac{3}{5}x^{5}+7x^{4}-3x^{3}+x^{2}+6x+11}

Resolução:
{ D=\mathbb{R} }, Claramente.

Exercício 4 Determinar o domínio da função {f(x)=k } onde { k\in \mathbb{R} }

Resolução:
Como { k } é qualquer número real, então o domínio é o conjunto dos números reais { (\mathbb{R}) }

— 3. Domínio de função racional —

Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)} \leftrightarrow g(x)\neq0 \ \ \ \ \ (4)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }.

Exercício 5 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{x-1}{x+2} }.

Resolução:
Vamos igualar o denominador a diferente de zero, assim: { x+2\neq 0 }
Agora, vamos resolver:
Temos: { x+2\neq 0 \leftrightarrow x\neq-2 }
logo o domínio é { D=\lbrace x\in R\mid x\neq -2 \rbrace } ou { D= \mathbb{R}-\lbrace-2\rbrace }

Exercício 6 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{x^2-3x-4} }.

Resolução:
Vamos resolver { x^2-3x-4\neq0} resolvendo temos: {x_{1}\neq-1,\ e \ x_{2}\neq4 \rightarrow D= \mathbb{R}-\lbrace-1,4\rbrace } ou { D=\lbrace x\in R\mid x\neq-1 \ e \ x\neq4 \rbrace }

— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —

Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k-1]{g(x)} \ \ ( \forall k\in\mathbb{N}) \rightarrow D=\mathbb{R} \ \ \ \ \ (5)

{ D=\mathbb{R} }

Exercício 7 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[3]{x^4 -\dfrac{5}{2} x+3}}

Resolução:
Evidentemente que {D=\mathbb{R}}

Exercício 8 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[7]{-2x^2 +x}+9}

Resolução:
Claramente que {D=\mathbb{R}}

— 5. Domínio de função irracional de índice par —

Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k]{g(x)} \ \ k \in \mathbb{N} \ \ \ \ \ (6)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid g(x)\geq0\rbrace }

Exercício 9 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt{3x+12}}.

Resolução:
{ 3x+12\geq0 \rightarrow 3x\geq-12 \leftrightarrow x\geq-\dfrac{12}{3} \leftrightarrow x\geq-4 }, logo o domínio é,

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\geq-4\rbrace }

Exercício 10 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt[4]{x^2+5x+6}}.

Resolução:
{ x^2+5x+6\geq0 } resolvendo temos: { x\leq -3 } ou { x\geq -2 }, logo o domínio é: {D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq -3 \ e \ x\geq-2\rbrace }.

— 6. Domínio de função logaritmica —

Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\log_{a}^x \ \ \ \ \ (7)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid 0<a<1 \ \ e \ \ a>1 \ e \ x>0 \rbrace}

Exercício 11 Determinar o domínio da função { f(x)=\log_{4}^{(4x^2-3x-1)}}.

Resolução:
{4x^2-3x-1>0} Primeiro vamos determinar as raízes, temos: { x_{1}=1} ou { x_{2}=-\dfrac{1}{4} } . Como se trata de inequação, o intervalo que satisfaz é: { x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 } assim o domínio da função é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 \rbrace }

Exercício 12 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x-2)}^7}.

Resolução:
{ 0<x-2<1 } e { x-2>1} segundo a condição da base do logaritmo.
vamos resolver:{ 0<x-2<1 \leftrightarrow 0+2<x<1+2 \leftrightarrow 2<x<3}
Outra condição: { x-2>1 \rightarrow x>1+2 \leftrightarrow x>3 }
Temos o domínio { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 2<x<3 \ e \ x>3\rbrace }

Exercício 13 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x+3)}^{x^2-x}}.

Resolução:
temos: {x^2-x>0 \rightarrow x(x-1)>0 \leftrightarrow x>0} e { x-1>0 \leftrightarrow x>1} ou { x<0 } e { x-1<0 \leftrightarrow x<1 }
A propriedade da base: { 0<3+x<1 \rightarrow -3<x<-2 } e { x+3>1 \leftrightarrow x>-2 }
achando a intersecção de todas as condições temos: { -2<x<0 } e { x>1 }
o domínio é { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid -2<x<0 \ \ e \ \ x>1\rbrace }

— 7. Domínio de função exponencial —

Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a^x \ \ \ \ \ (8)

{ D=\lbrace a \in \mathbb{R}\vert a>0 \wedge a \neq 1 \rbrace }

Exercício 14 Determinar o domínio da função { y=2^x }
Resolução:
Claramente que o { D=\mathbb{R} }
Exercício 15 Determinar o domínio da função { y=(\dfrac{1}{3} )^{\dfrac{x-1}{4}} }

Resolução:
Sem mais comentário o domínio é { D=\mathbb{R} }

— 8. Domínio de função trigonométrica —

Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \sin x \ \ \ \ \ (9)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \cos x \ \ \ \ \ (10)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \tan x \ \ \ \ \ (11)

{ D=\lbrace \forall x \in \mathbb{R}\vert \cos x \neq 0 \rbrace } { \rightarrow D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi \rbrace }

Exercício 16 Determinar o domínio da função { y=\tan\dfrac{x}{2}}

Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para { \dfrac{\pi}{2} } então, temos: { \tan\dfrac{x}{2}\neq\tan\dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow \dfrac{x}{2}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi } { \leftrightarrow x\neq \pi+2k\pi }. logo o domínio é: { D(x)=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\neq \pi+2k\pi \rbrace }

Exercício 17 Determinar o domínio da função { f(x)=\dfrac{1+\cot x}{1-\tan x} }.

Resolução: Destaca-se a condição da {\cot x, \tan x } e a condição do denominador {1-\tan x }
– A Condição da {\cot x }: {\cot x \neq \cot 0 \leftrightarrow x \neq k\pi }
– A Condição da {\tan x }: { \tan x \neq \tan \dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}
– A Condição do denominador { 1-\tan x } : { 1-\tan x \neq0 \leftrightarrow \tan x \neq1 \leftrightarrow \tan x \neq\tan\dfrac{\pi}{4}} { \leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi }
Finalmente, temos: { D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x \neq k\pi \ e \ x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi \ e \ x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi\rbrace}

— 9. Determinação de domínio de diversas funções —

Exercício 18 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x+5}}}
Resolução:
Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador.
{ 3x+5\neq0\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{3}}, logo o domínio é, { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid x\neq-\dfrac{5}{3}\rbrace }.

Exercício 19 Determinar o dominio da função { f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}-2} }

Resolução:
Nesse exercício temos que impor a condição do denominador e do radical porque o índice é par.
-A condição do radical: { x\geq0 }
-A condição do denominador: { \sqrt{x}-2 \neq0 \rightarrow \sqrt{x}\neq2 \rightarrow x\neq4 }
-Intersecção das duas condições: { 0\leq x<4 \ e \ 4<x }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x<4 \ e \ 4<x \rbrace }

Exercício 20 Qual é o domínio da função { f(x)=\dfrac{1}{\log^{x}} }?
Resolução:
Nesse exercício temos a condição do denominador e do logatitmando porque o índice é par.
-A Condição do logaritmando é: { x>0 }
-A Condição do denominador é : { \log^{x}\neq0 \rightarrow x\neq10^0 \rightarrow x\neq1 }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0<x<1 \ e \ x>1\rbrace}.

Exercício 21 O domínio da função { f(x)=\log(\sin x)} é?

Resolução:
Nesta função está em caso, simplesmente, a condição do logaritmando.
Temos: {\sin x >0 \leftrightarrow 0< x < \pi \leftrightarrow D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0 < x < \pi \rbrace}

Exercício 22 Ache o domínio da função { y=\dfrac{2+\sqrt{x-5}}{x^2-64} }.
Resolução:
Vamos estudar a condição do radical e do denominador.
– A Condição do denominador: { x^2-64\neq0 \leftrightarrow x^2\neq64 \leftrightarrow x\neq\pm8 }
– A Condição do radical { x-5\geq \leftrightarrow x\geq5}
– Intersecção das duas condições resulta { 5\leq x < 8 \ e \ x>8 }:
finalmente o domínio é: {D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 5\leq x < 8 \ e \ x>8 \rbrace }

Exercício 23 Encontre o domínio da função { f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^3}+\dfrac{2x}{\sqrt{x+4}} }.
Resolução:
– A condição {\sqrt{x-1} \leftrightarrow x-1\geq0 \leftrightarrow x\geq1 }
– A condição { x^3\neq0 \Longrightarrow x\neq0 }
– A condição do denominador {\sqrt{x+4}\neq0 \leftrightarrow x+4>0 \leftrightarrow x>-4 }
A intersecção das três condições fornece-nos o seguinte resultado: { x>1 }, logo o domínio da função é:
{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid 1\leqslant x \rbrace }

Exercício 24 Determinar o domínio da função { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} }.
Resolução: { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} } isto só é possível para { 2^{(x-2)}-1\geq0 }. logo temos: { 2^{(x-2)} \geq 1 \leftrightarrow 2^{(x-2)} \geq 2^0 } { \leftrightarrow x-2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 } Por fim temos o domínio: { D= \lbrace x \in \mathbb{R} \mid 2\leq x \rbrace }.

Exercício 25 Dada a função { f(x)=\dfrac{1}{\vert x-2 \vert -3} }. Determinar o domínio.

Resolução:

O denominador diferente de zero: { \vert x-2\vert-3\neq0 \leftrightarrow \vert x-2 \vert \neq3 } , segundo as propriedades modular, temos:
{ x-2 \neq3 \leftrightarrow x\neq5 }
{ x-2 \neq-3 \leftrightarrow x\neq-1 }
Assim o domínio é { D=\mathbb{R}-(-1, 5) }

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