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Função composta

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— 1. Conceito —

Definição 1 Dados três conjuntos { A }, { B } e { C } não vazios. seja { f } uma função de { A } em { B } e { g } outra função de { B } em { C }. Chama-se função composta de { f } e { g } a função { h } de { A } em { C } definida por:

\displaystyle   h(x)=f(g(x)) \ \ \ \ \ (1)

se {\forall x\in A }

Muita das vezes representa-se por { h(x)=fog \ \forall x\in A } e lê-se: { f } composta por { g },

então { (fog)(x)=f(g(x)) \ \forall x\in A }

por diagrama temos:

A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:

Exercício 1

Dados os conjuntos { A=(1,2,3) }, { B=(-1,2,5,7) } e { C=(-1,5,11,15) }.

Seja a função { f(x)=x^2-2 } de { A } em { B } e a outra { g(x)=2x+1 } de { B } em { C }, calcular { h=gof }

Resolução

{ f:A\rightarrow B }.

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(1)=(1)^2-2=1-2=-1 \leftrightarrow f(1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(2)=(2)^2-2=4-2=2 \leftrightarrow f(2)=2 }

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(3)=(3)^2-2=9-2=7 \leftrightarrow f(3)=7 }

{ g:B\rightarrow C }, temos:

Para { x=-1 } temos:{ g(x)=2x+1 \rightarrow g(-1)=2(-1)+1=-2+1=-1 \leftrightarrow g(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(2)=2(2)+1=4+1=5 \leftrightarrow g(2)=5 }

Para { x=5 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(5)=2(5)+1=10+1=11 \leftrightarrow g(5)=11 }

Para { x=7 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(7)=2(7)+1=14+1=15 \leftrightarrow g(7)=15 }

Agora podemos calcular a função composta definida por { h(x)=gof=g(f(x)) \forall x \in A }

Para { x=1 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(1)=g(f(1))=g(-1)=-1 \leftrightarrow h(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(2)=g(f(2))=g(2)=5 \leftrightarrow h(2)=5 }

Para { x=3 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(3)=g(f(3))=g(7)=15 \leftrightarrow h(3)=15 }

por diagrama, temos:

Observando muito bem { h(x)=gof \forall x \in A } o conjunto { Im \subset C }, então temos:

{ h(x)=gof } de { A } em { C }

Exercício 2

Dadas as funções reais { g(x)=x^2+4 } e { f(x)=x-3 }, determinar a função composta { h(x)=g(f(x)) }

Resolução

Temos:

{ h(x)=g(f(x))=g(x-3)=(x-3)^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13 }

{ \leftrightarrow h(x)=g(f(x))=x^2-6x+13 }

Teorema 1

{ g } composta com { f } em geral não é igual a { f } composta com { g }

\displaystyle   gof \neq fog \ \ \ \ \ (2)

Demonstração:

Sejam { x \in A }, { y \in B } e { u \in B } e { v \in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e { v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (gof)(x)=g(f(x))=g(y)=u \leftrightarrow gof=u }

e

{ (fog)(y)=f(g(y))=f(u) \leftrightarrow fog=f(u) } contradição porque

{ u \in C } e { f: A \rightarrow B }

logo: { gof \neq fog }

\Box

Exercício 3

Sejam as funções { f(x)=-2x+3 } e { g(x)=x-x^2 }, Calcular { gof } e { fog }

Resolução: Temos:

{ gof=g(f(x))=-2(x-x^2)+3=-2x+2x^2+3=x^2-2x+3 }

{ \leftrightarrow gof=x^2-2x+3 }

e

{ fog=f(g(x))=(-2x+3)-(-2x+3)^2=(-2x+3)-(4x^2-6x+9)}

{ \leftrightarrow f(f(x))=-2x+3-4x^2+6x-9=-4x^2+4x-6 }

{ \leftrightarrow fog=-4x^2+4x-6 }

Verificando o teorema

{ gof\neq fog }

Exercício 4

Sejam as funções { f(x)=x^2-5x+6 } e { g(x)=x^2 }, Calcular: { (gof)(1) } e { (fog)(1) }

Temos:

{ gof=g(f(x))=(x^2-5x+6)^2=x^4-10x^3+37x^2-60x+36 }

calculando { (gof)(1) },

temos:

{ (gof)(1)=g(f(1))=1^4-10(1)^3+37(1)^2-60(1)+36=4 \leftrightarrow (gof)(1)=4 }

e

{ (fog)=f(g(x))=(x^2)^2-5x^2+6=x^4-5x^2+6 \leftrightarrow fog=x^4-5x^2+6 }

Calculando { (fog)(1)}, temos:

{ (fog)(1)=f(g(1))=(1)^4-5(1)^2+6=2 ,\leftrightarrow (gof)(1)=4 }

Verificando o teorema, vemos que { gof \neq fog }

Exercício 5

Sejam as funções { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } e { g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} } definidas por { f(x)=x+2 } e { g(x)=\dfrac{2}{x^2} }, determinar { f(g(x)) } e { g(f(x)) }

Resolução:

Temos:

{ f(g(x))=\dfrac{2}{x^2}+2=\dfrac{2+2x^2}{x^2} \leftrightarrow f(g(x))= \dfrac{2+2x^2}{x^2} }

{\leftrightarrow f(g(x)): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} }

isto é verdade; logo { f(g(x))=\dfrac{2+2x^2}{x^2} } de { \mathbb{N} } em { \mathbb{R} }

e

{ g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} \leftrightarrow g(f(x)):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } que não é verdade

como { x\in R }, tomemos { x=-2 } a função { g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} } não está definida; logo não é uma função de { R } em { R }

Teorema 2

A função composta é associativa.

\displaystyle   (hog)of=ho(fog) \ \ \ \ \ (3)

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (hog)of=(hog)of)x=(hog)f(x)=(hog)y=h(g(y))=h(u)=v }

{\leftrightarrow (hog)of=v }

e

{ ho(gof)(x)=ho(g(f(x)))=ho(g(y))=h(u)=v \leftrightarrow ho(gof)=v }

Assim mostramos que: { (hog)of=ho(fog) }

\Box

Exercício 6

Dadas as funções { f(x)=3-x } e { g(x)=(x+1)^2 } e { h(x)=3x },

Calcular { (hog)of } e { ho(fog)} e verifique o teorema.

temos:

{ (hog)of=(h(g(x))of=3(x+1)^2=3f(x)^2+6f(x)+3=3(3-x)^2+6(3-x)+3 }

{ \Longrightarrow (hog)of=3x^2-24x+48 }

e

{ ho(gof)=ho(g(f(x)))=h(-x+4)^2)=3(-x+4)^2=3x^2-24x+48 }

Claramente que são iguais

Teorema 3

Se { f } e { g } são sobrejectivas então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (4)

também é sobrejectira

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

Como { g } é sobrejectiva, então

{ \forall u\in C }, { \exists y\in B } de modo que { g(y)=u }

e

a função { g } é sobrejectiva, então

{ \forall y\in B }, { \exists x\in A } de modo que { f(x)=y } então,

{ \forall u\in C, \exists x\in A: u=g(y)=g(f(x))=(gof)(x) }

Assim provamos que { gof } sobrejectiva.

\Box

Teorema 4

Se duas funções { f } e { g } são injectivas, então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (5)

também é injectiva

Demonstração:

Seja { \forall x_{1} \in A } e { \forall x_{2} A }. Suponhamos { (gof)(x_{1})=(gof)(x_{2}) } logo, { g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }. Como { g } é injectiva, então

{ g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }, como { f } também é, então { x_{1}=x_{2} } implica que { gof } é injectiva.

\Box

Teorema 5

Sejam as função { f: A\rightarrow B } e { f^{-1}: B \rightarrow A } ,então

\displaystyle   f^{-1}of= \vert_{A} \ e \ fof^{-1}= \vert_{B} \ \ \ \ \ (6)

onde: { \vert_{A} \ e \ \vert_{B} } são funções identidade.

Demonstração:

Sejam os elementos { x \in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { x=f(y) } de { B } em { A },temos:

{ \forall x \in A (f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{1}(y)=x \leftrightarrow (f^{-1}of)(x)=x }, é verdade que { x \in A }

{\forall y \in B (fof^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y \leftrightarrow (fof^{-1})(y)=y } é verdade que { y \in B }

\Box

Teorema 6

Se a função { f:A \rightarrow B } e { g:B \rightarrow C } são bijectivas então:

\displaystyle   (gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} \ \ \ \ \ (7)

Demonstração:

Sejam { x\in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { u=g(y) } de { B } em { A }.

Vamos supor também que { f } e { g } são mesmo bijectivas, logo { gof } de { A } em { C } também é bijectiva ,então { (gof)^{-1} } de { C } em { A }

Sendo assim; demonstrar que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } equivale mostrar que { (f^{-1}og^{-1})o(gof)=\vert_{A} } e {(gof)o(f^{-1}og^{-1}=\vert_{C} }

Temos:

{ (f^{-1}og^{-1})o(gof)=((f^{-1}og^{-1})og)of=(f^{-1}(g^{-1}og))of=(f^{-1}o\vert_{B})of=f^{-1}of=\vert_{A} }

e

{ (gof)(f^{-1}og^{-1})=((gof)of^{-1})og^{-1}=( g(fof^{-1}))og^{-1}=(go\vert_{A})og^{-1}=gog^{-1}=\vert_{c}}

Assim demonstramos que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } se { f } e { g } forem bijectivas.

\Box

— 2. Exercícios complementares —

Exercício 7 Sejam as funções { g(x)=2x+3 } e

{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-2x & se \ x \geq 2;\\ x^2 & se \ x < 2 \end{array} \right. } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos: fazer { y=g(x) } { 1 }) Para { x\geq 2 \leftrightarrow 2x+3 \geq 2 \leftrightarrow x \geq - \dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))= (2x+3)^2-2(2x+3)=4x^2+12x+9-4x-6=4x^2+8x+3 }

{ 2 }) para { x<2 \rightarrow 2x+3<2 \leftrightarrow x<-\dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))=-3(2x+3)+2=-6x-9+=-6x-7 }

então,

{ \left.f(g(x))=\lbrace \begin{array}{ll} x^2+8x+3 & se \ x\geq -\dfrac{1}{2};\\ -6x-7 & se \ x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. }

Exercício 8

Dadas as funções { g(x)=\sqrt{x} } e { s(x)=\sqrt{1-x^2} },

determinar { gos } e { sog }

Resolução Temos:

{ gos=g(s(x))=\sqrt{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt[4]{1-x^2} }

e

{ sog=s(g(x))=\sqrt{1-\sqrt{x^2}}=\sqrt{1-x} }

Exercício 9

Dadas as funções { f(g(x))=4x+11 } e { g(x)=x+2 } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos:

{ f(g(x))=4x+11 \leftrightarrow f(x+2)=4x+11}

fazendo { t=x+2 \leftrightarrow x=t-2 },

tem-se: { f(t)=4(t-2)+11=4t-8+11=4t+3 \rightarrow f(x)=4x+3}

Exercício 10 Dadas as funções { g(f(x))=4x^2-12x+10 } e { f(x)=2x-3 } determinar { g(-4) }

Resolução Temos:

{ g(f(x))=4x^2-12x+10 \leftrightarrow f(2x-3)=4x^2-12x+10 }

fazendo { t=2x-3 \leftrightarrow x=\dfrac{t+3}{2} },

tem-se:

{ g(t)=4(\dfrac{t+3}{2})^2-12(\dfrac{t+3}{2})+10 }

{\leftrightarrow g(t)=4(\dfrac{t^2+6t+9}{4})-6(t+3)+10=t^2+6t+9-6t-18+10 }

{ \leftrightarrow g(t)=t^2+1 \rightarrow g(x)=x^2+1}

Calculando { g(-4) },

temos:

{ g(-4)=(-4)^2+1=16+1=17 }

Exercício 11 Dadas as funções { g(x)=ax+b } e { f(x)=cx^2+d }.

a) Qual é a condição que satisfaz a igualdade { f(g(x))=g(f(x))} ?

b) Mostre que { (fog)(0))-g(f(0))=d(a-1)+b(c-b) }

Resolução Temos:

a) { f(g(x))=a(cx^2+d)+b=acx^2+ad+b }

e

{ g(f(x))=c(ax+b)^2+d=c(a^2x^2+2abx+b^2)+d=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

para que { f(g(x))=g(f(x)) }, temos:

{ acx^2+ad+b=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

Utilizando identidade de polinómios, temos:

{ abc=0 } e {cb^2+d=b }

Resolvendo o sistema resulta: { f(g(x))=g(f(x)) }

{ \left.f(g(x))=g(f(x)) \leftrightarrow \lbrace \begin{array}{ll} cd^2+d=b & se \ a=0 ;\\ d=b & se \ c=0 \end{array} \right. }

b) {(fog)(0))-g(f(0))=(ac(0)^2+ad+b)-(ca^2(0)^2+2cab(0)+cb^2+d)} { \leftrightarrow (fog)(0)=ad+b -cb^2-d=d(a-1)+b(c-b) }

Exercício 12

Dadas as funções { f(x)=2x+y } e { g(x)=\dfrac{1}{4} },

determinar o produto de { fof } com { gog } sabendo que { a \in N } e { y \in N } e { a \neq y }.

Resolução: Vamos resolver { f(f(x)) } , isto é, composta de { f } por si mesmo, assim temos: { f(f(x))=2(2x+y)+y=2x+3y } e { g(g(x))=\dfrac{a}{4} }

O produto é {(2x+3y)(\dfrac{a}{4})=\dfrac{2ax+3ay}{4}}

como { a } e { y } são números naturais e pares e diferentes, então temos:

fazendo { a=2k } e { y=4k \forall k\in\mathbb{N}} resulta:

{\dfrac{2ax+3ay}{4}=\dfrac{4kx+24k^2}{4}=kx+6k^2}.

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