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Mecânica Quântica – Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Exercício 1

  1. Para o exemplo dado no artigo Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística calcule {<j>^2} e {<j^2>}:

    { {<j>^2=\left(\sum j \dfrac{N(J)}{N}\right)^2=441}}

    { {<j^2>=\sum j^2 \dfrac{N(J)}{N} =\dfrac{6434}{14}=459.6}}

  2. Determine { {\Delta j}} para cada {j}.
    { {j}} { {\Delta j=j-<j>}}
    14 { {14-21=-7}}
    15 { {15-21=-6}}
    16 { {16-21=-5}}
    22 { {22-21=1}}
    24 { {24-21=3}}
    25 { {25-21=4}}

    Assim para a variância temos

    { {\sigma ^2=\sum (\Delta j)^2 \dfrac{N(J)}{N}=\dfrac{260}{14}=18.6}}

    Logo o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

    Calcule a variância e o desvio padrão usando as definições alternativas

    { {\sigma^2=<j^2>-<j>^2=459.6-441=18.6}}

    E para o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

  3. Considere os primeiros { {25}} dígitos na expansão decimal de { {\pi}}. Qual é a probabilidade de obtermos cada um dos {10} dígitos assumindo que a distribuição é aleatória. Determine também o dígito mais provável, mediana, média e desvio padrão.

    Os primeiros {25} dígitos da expansão decimal de { {\pi}} são

    \displaystyle  \{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3\}

    Assim para os dígitos temos

    { {N(0)=0}} { {P(0)=0}}
    {{N(1)=2}} { {P(1)=2/25}}
    { {N(2)=3}} { {P(2)=3/25}}
    { {N(3)=5}} { {P(3)=1/5}}
    { {N(4)=3}} { {P(4)=3/25}}
    { {N(5)=3}} { {P(5)=3/25}}
    { {N(6)=3}} { {P(6)=3/25}}
    { {N(7)=1}} { {P(7)=1/25}}
    { {N(8)=2}} { {P(8)=2/25}}
    { {N(9)=3}} { {P(9)=3/25}}

    O dígito mais provável é { {5}}. A mediana é { {4}}. A média é { {\sum P(i)N(i)=4.72}}.

    { {\sigma=2.47}}

  4. A agulha de um velocímetro é totalmente livre nas suas oscilações e ressalta perfeitamente em ambos extremos de tal modo que após sofrer um impulso a sua posição final está entre { {0}} e { {\pi}} sem qualquer preferência.
    • Qual é a densidade de probabilidade {\rho (\theta)}? Trace o gráfico de {\rho (\theta)} para {-\pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2}. Assegure-se que a probabilidade total é igual a {1}.

      No intervalo { {\left[0,\pi\right]}} a probabilidade da agulha cair num ângulo { {d\theta}} é { {d\theta/\pi}}. Dada a definição de densidade de probabilidade temos { {\rho(\theta)=1/\pi}}.

      Para além disso a densidade de probabilidade necessita de ser normalizada:

      \displaystyle  \int_0^\pi \rho(\theta)d\theta=1\Leftrightarrow\int_0^\pi 1/\pi d\theta=1

      que é trivialmente válido.

      O gráfico para a densidade de probabilidade é

    • Calcule { {\left\langle\theta \right\rangle}}, { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} e{ {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta^2 \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta^2}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^3}{3} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi^2}{3} \end{aligned}}}

      A variância é { {\sigma^2=\left\langle\theta^2 \right\rangle-\left\langle\theta\right\rangle^2 =\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{12}}}.

      O desvio padrão é { {\sigma=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}}}.

    • Calcule { {\left\langle\sin\theta\right\rangle}}, { {\left\langle\cos\theta\right\rangle}} e { {\left\langle\cos^2\theta\right\rangle}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\sin\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\sin\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi\\ &= \frac{2}{\pi} \end{aligned}}}

      e

      { {\begin{aligned} \left\langle\cos\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\cos\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi\\ &= 0 \end{aligned}}}

      Deixamos { {\left\langle\cos^2\theta \right\rangle}} como um exercício para o leitor. Lembre-se que { {\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}}.

  5. Considere a densidade de probabilidade

    \displaystyle  \rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}

    • Calcule {\left\langle x \right\rangle} , {\left\langle x^2 \right\rangle}, {s^2} e {s}.

      Para {\left\langle x \right\rangle} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{h}{3} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_0^h x^{3/2}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[\frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^h\\ &= \frac{h^2}{5} \end{aligned}}}

      Assim a variância é

      { \displaystyle \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{h^2}{5}-\frac{h^2}{9}=\frac{4}{45}h^2 }

      e o desvio padrão é

      { \displaystyle \sigma=\frac{2h}{3\sqrt{5}} }

    • Calcule a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados do que um desvio padrão.

      Para a distância ser superior a dois desvios padrões temos duas possibilidades. A primeira é { {\left[0,\left\langle x \right\rangle+\sigma\right]}} e a segunda é { {\left[\left\langle x \right\rangle+\sigma,h\right]}}.

      Assim a probabilidade total é a soma das probabilidades associadas aos intervalos anteriores.

      Seja { {P_1}} a probabilidade associada ao primeiro intervalo e { {P_2}} a probabilidade associada ao segundo intervalo.

      { {\begin{aligned} P_1 &= \int_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[2x^{1/2} \right]_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h}}\sqrt{\frac{h}{3}-\frac{2h}{3\sqrt{5}}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Para o segundo intervalo é

      { {\begin{aligned} P_2 &= \int_{\left\langle x \right\rangle+\sigma}^h\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \ldots\\ &=1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Assim a probabilidade total { {P}} é { {P=P_1+P_2}}

      { {\begin{aligned} P&=P_1+P_2\\ &= \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}}+1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}}\\ &\approx 0.3929 \end{aligned}}}

  6. Para a seguinte densidade de probabilidade { {\rho(x)=Ae^{-\lambda(x-a)^2}}}
    • Determine { {A}}.

      Fazendo a mudança de variável { {u=x-a}} ({ {dx=du}}) a condição de normalização fica

      { {\begin{aligned} 1 &= A\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &= A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{aligned}}}

      Assim para { {A}} é

      { \displaystyle A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}}

    • Determine { {\left\langle x \right\rangle}}, { {\left\langle x^2 \right\rangle}} e { {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du+a\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( 0+a\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &= a \end{aligned}}}

      Para entender porque { {\displaystyle\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du=0}} veja o artigo variáveis mudas

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right) \end{aligned}}}

      ora { {\displaystyle 2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du=0}} como já vimos.

      Para o terceiro termo é { {\displaystyle a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du=a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}}}.

      O primeiro integral é o mais difícil mas podemos utilizar uma técnica especial para o resolver:

      { {\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du &= \int_{-\infty}^\infty-\frac{d}{d\lambda}\left( e^{-\lambda u^2} \right)du\\ &= -\frac{d}{d\lambda}\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &=-\frac{d}{d\lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{aligned}}}

      Assim é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}}+0+a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &=a^2+\frac{1}{2\lambda} \end{aligned}}}

      A variância é

      \displaystyle  \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{1}{2\lambda}

      Logo o desvio padrão é

      \displaystyle  \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}

— 1. Ficheiro Mathematica —

A resolução do segundo exercício foi feita com recurso ao software Mathematica. De forma a ajudar os leitores que eventualmente usam esse mesmo software publico aqui o código utilizado:

 // N[Pi, 25]

piexpansion = IntegerDigits[3141592653589793238462643]

digitcount = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitcount, Count[A, i]]]

digitcount

digitprobability = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitprobability, Count[A, i]/25]]

digitprobability

digits = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digits, i]]

digits

j = N[digits.digitprobability]

digitssquared = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitssquared, i^2]]

digitssquared

jsquared = N[digitssquared.digitprobability]

sigmasquared = jsquared - j^2

std = Sqrt[sigmasquared]

deviations = {}

deviations = piexpansion - j

deviationssquared = (piexpansion - j)^2

variance = Mean[deviationssquared]

standarddeviation = Sqrt[variance] 

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