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Análise Matemática – Cálculo Diferencial III

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Teorema 65 {Teorema de Cauchy} Sejam { {[a,b]\subset\mathbb{R}}} e { {f}}, { {g}} contínua tal que { {f;g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}}}. Se { {f}} e { {g}} são diferenciáveis em { {]a,b[}} e { {g'}} é diferente de {0} em { {]a,b[}}, então existe { {c \in ]a,b[}} tal que

\displaystyle   \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \ \ \ \ \ (66)

Demonstração: Temos { {g(a)\neq g(b)}} uma vez que se fosse { {g(a)=g(b)}}, { {g'}} teria uma raiz em { {]a,b[}}.

Seja

\displaystyle  \lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

e vamos definir { {\varphi}} como sendo { {\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}(diferenciável em { {]a,b[}} e contínua em { {[a,b]}}) tal que { {\varphi=f(x)-\lambda g(x)}} { {\forall x \in [a,b]}}. Assim

\displaystyle  \varphi(a)=f(a)-\lambda g(a)=\ldots=\varphi(b)

Aplicando o teorema 63 em { {[a,b]}} existe { {c\in [a,b]}} tal que { {\varphi'=0}}. Isto é

\displaystyle  f'(c)-\lambda g'(c)=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{f'(c)}{g'(c)}

\Box

O Teorema anterior de certa forma é mais um Lema do que propriamente um Teorema. Dizemos isso porque não obstante seja um resultado importante por si próprio ele é bastante útil para provarmos outros teoremas. Para além disso este resultado pode ainda ser interpretado com um algoritmo que nos permite obter aproximações (muito) locais para funções na vizinhança de um dado ponto.

Teorema 66 {Primeira regra de Cauchy} Sejam { {I \subset \mathbb{R}}}, { {c\in I'}} e { {f,g:I\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb{R}}} diferenciável. Vamos também assumir que { {g'}} não se anula em { {I\setminus \{c\}}} e que { {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=0}}.

Se { {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}} existe temos que

\displaystyle   \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (67)

Demonstração: Seja { {c\in\mathbb{R}}}. Uma vez que { {f,g}} são contínuas em { {I\setminus \{ c \}}} e { {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=0}} podemos definir { {f(c)=g(c)=0}}. Seja { {x_n: \mathbb{N}\rightarrow I\setminus \{c\}}} tal que { {x_n\rightarrow c^+}}.

Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo { {[c,x_n]}} vem que

\displaystyle  \frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n)-f(c)}{g(x_n)-g(c)}=\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}

Com { {c<u_n<x_n}}.

Então { {u_n\rightarrow c}} pelo Teorema da sucessão enquadrada 17

E

\displaystyle  \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

pela definição de limite.

Então

\displaystyle  \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Assim pela definição de limite é

\displaystyle   \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c^+}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (68)

Analogamente se para { {x_n}} temos

\displaystyle  x_n\rightarrow c^-

Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo { {[x_n,c]}} é

\displaystyle  \frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n)-f(c)}{g(x_n)-g(c)}=\frac{f(c)-f(x_n)}{g(c)-g(x_n)}=\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}

Com { {x_n<u_n<c}}.

Analogamente ao que vimos atrás fica

\displaystyle   \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c^-}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (69)

Das equações 68 e 69 vem que

\displaystyle  \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Finalmente façamos { {c=+\infty}}. Seja { {x=1/t}}. Temos que { {x\rightarrow \infty \Leftrightarrow t\rightarrow 0^+}}. Pelo que provámos até agora temos

{ {\begin{aligned} \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} &= \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)}\\ &= \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{(f(1/t))'}{(g(1/t))'}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{-1/t^2f'(1/t)}{-1/t^2g'(1/t)}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f'(1/t)}{g'(1/t)}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\\ \end{aligned}}}

Assim, para este caso também é { {\displaystyle\lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}}.

O caso { {c=-\infty}} pode ser demonstrado de forma semelhante com a mudança de variável { {x=-1/t}}. \Box

Teorema 67 {Segunda regra de Cauchy} Sejam { {I \subset \mathbb{R}}}, { {c\in I'}} e { {f,g:I\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb{R}}} diferenciável. Suponha-se { {g}} não se anula em { {I\setminus \{c\}}} e que { {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=+\infty}}. Então se existir limite { {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}} tem-se

\displaystyle   \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (70)

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. \Box

Os dois teoremas anteriores são conhecidos por uma variedade de nomes na literatura matemática e são sobejamente utilizados para calcularmos limites. Como sempre daremos alguns exemplos para demonstrar a sua utilidade.

Exemplo 1 As funções { {e^x}} and { {x}} tendem para infinito quando { {x}} tende para infinito. Já sabemos que a função exponencial tende para infinito mais rápido que qualquer polinómio de {x} pelo teorema 45 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VI mas utilizando a Segunda regra de Cauchy podemos demonstrar esse resultado de forma mais rápida.

\displaystyle   \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x} \ \ \ \ \ (71)

Como sempre um método que consegue demonstrar um mesmo resultado de uma forma mais rápida e eficiente é um método mais poderoso.

{ {\begin{aligned} \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x} &= \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(e^x)'}{x'}\\ &= \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{1}\\ &= \infty \end{aligned}}}

Exemplo 2 As funções { {\cos x-1}} e { {x^2}} tendem para { {0}} quando { {x}} tende para { {0}}. A pergunta que se coloca é qual das funções tende para { {0}} de forma mais rápida?

{ {\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2} &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'}\\ &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{2x}\\ &= \ldots \end{aligned}}}

No final dos cálculos anteriores chegamos mais uma vez a uma indeterminação do tipo { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}}} onde { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0}}.

No entanto ambas a regras de Cauchy podem ser utilizadas mais do que uma vez. Assim sendo vamos utilizar mais uma vez a regra de Cauchy (voltando ao ponto inicial para que não percamos o raciocínio)

{ {\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2} &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'}\\ &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{2x}\\ &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\cos x}{2}\\ &= -\dfrac{1}{2} \end{aligned}}}

Como exercício calcule:

\displaystyle  \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{1}

Vamos agora demonstrar mais um resultado matemático que é muito importante para a Física, a um nível conceptual pode ser interpretado tanto de forma geométrica como de forma cinemática e que tem o nome de teorema de Lagrange.

Teorema 68 {Teorema de Lagrange} Sejam { {[a,b]\subset\mathbb{R}}} e { {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Se { {f}} é diferenciável { {]a,b[}} existe { {c\in ]a,b[}} tal que

\displaystyle   \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \ \ \ \ \ (72)

Demonstração: No teorema 65 faça-se { {g(x)=x}} e o resultado segue trivialmente. \Box

Como dissemos anteriormente este teorema pode ser interpretado de uma forma geométrica ou de uma forma cinemática.

Geometricamente podemos dizer que a secante a função { {f(x)}} que passa pelas extremidades de { {[a,b]}} tem um determinado declive e que podemos sempre encontrar uma tangente à função { {f}} no intervalo { {[a,b]}} cujo declive é o mesmo que o da recta secante. Assim podemos dizer que a recta tangente é paralela à recta secante.

A interpretação cinemática diz-nos que se { {x}} representa o tempo e que se { {f(x)}} representa a posição (num movimento unidimensional) então { {f(b)-f(a)}} representa a distância percorrida no intervalo de tempo { {b-a}} com uma velocidade média de

\displaystyle  \frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Neste contexto sabemos que { {f'(x)}} é a velocidade instantânea e assim sendo o Teorema 68 diz-nos que existe um instante de tempo { {c}} para o qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média em todo o intervalo de tempo.

Exemplo 3 Mostre que { {e^x-1>x\quad \forall x \neq 0}}.

Seja { {f(t)=e^t}}. Vamos assumir que { {x>0}} e aplicar o teorema 68 no intervalo { {[0,x]}}.

{ \displaystyle \frac{e^x-e^0}{x-0}=\left( e^t \right)'_{t=c} }

com { {0<c<x}}.

Então

\displaystyle  \frac{e^x-1}{x}=e^c>1

Vamos agora assumir que { {x<0}} e aplicar mais uma vez o teorema 68 no intervalo { {[x,0]}}.

\displaystyle  \frac{e^0-e^x}{0-x}=\left( e^t \right)'_{t=c}

com { {x<c<0}}.

Então

\displaystyle  \frac{1-e^x}{-x}=e^c<e^0=1\Leftrightarrow 1-e^x<-x\Leftrightarrow e^x-1>x

De notar que não tivemos que inverter o sinal da desigualdade quando multiplicámos por { {-x}} uma vez que { {x<0}} e consequentemente { {-x>0}}.

Vamos agora enunciar dois importantes corolários para o teorema anterior.

Corolário 69 Sejam { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Se {{f'}} existe e é identicamente nula no interior de { {I}}, então { {f}} é constante.

Demonstração: Por redução ao absurdo vamos assumir que { {f}} não é constante. Então existe { {a,b \in I}} tal que { {a<b}} e { {f(a)\neq f(b)}}. Uma vez que { {f}} é constante em { {[a,b]}} e diferenciável em { {]a,b[}} pelo teorema 68 vem que

\displaystyle  \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)

com { {c\in ]a,b[}}.

Assim { {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0}} o que é absurdo pois tal implicaria que { {f(b)=f(a)}}, que é contrário à nossa hipótese. \Box

Corolário 70 Sejam { {I}} um intervalo em { {\mathbb{R}}} e { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}} contínua. Se { {f'}} existe e é positiva (negativa) no interior de { {I}}, então { {f}} é estritamente crescente (decrescente).

Demonstração: Vamos analisar o caso { {f'>0}}. Dado { {a,b \in I}} tais que { {a<b}}. Do teorema 68 vem que

\displaystyle  \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)>0

com { {c \in ]a,b[}}.

Uma vez que { {b-a>0}} vem que { {f(b)>f(a)}} e { {f}} é estritamente crescente. \Box

Com estes resultados terminamos o capítulo de Cálculo Diferencial no nosso curso de Análise Real. Os nossos próximos artigos teóricos irão debruçar-se sobre a Teoria das Séries Numéricas

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1 Comentário

  1. […] Fonte: Análise Matemática – Cálculo Diferencial III […]

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