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1. Introdução as equações diferenciais

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— 1. Introdução as equações diferenciais —

Talvez a aplicação mais importante do calculo sejam as equações diferenciais.Quando os físicos ou cientistas sociais usam o calculo em geral, o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenómeno que eles estão estudando.

— 1.1. Definições e terminologia —

Definição 1.As equações diferenciais são aquelas que contem as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Exemplo 1.

  1. { \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt}=x+y } onde: x e y são variáveis dependentes e t é variável independente.
  2. { \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=x-2y } onde: u é a variável dependente e x e y são variáveis independentes

Definição 2. A ordem da derivada mais elevada que aparece na equação diferencial determina a ordem da equação.

Definição 3. O grau de uma equação diferencial que pode exprimir-se como um polinómio, na função incógnita e suas derivadas, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.

— 1.1.1. Classificação das Equações Diferenciais —

As equações diferenciais são classificadas quanto ao tipo, ordem e linearidade.

  1. Quanto ao tipo as equações diferenciais são classificadas em:ordinárias e parciais.
    1. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas que contem uma ou mais derivadas de variáveis dependentes em relação a uma variável independente.
    2. As equações diferenciais parciais (EDP) são aquelas que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
  2. Quanto a ordem uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,…,n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.Uma equação ordinária de ordem n pode ser escrita na forma:

    {F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}

  3. Quanto a linearidade de uma equação diferencial ela pode ser linear e não linear.Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear.Por exemplo uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que pode ser escrita como:

    { a_{n}(x)\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x) }

    As equações diferenciais ordinárias que não podem ser escritas nessa forma são não lineares.

Exemplo 2.

  1. { \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{dy}{dx}+3y=0} (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
  2. { (y\prime\prime\prime)^{2}-y\prime\prime+y^{2}=0 } (EDO da 3ª ordem, 2º grau não linear)
  3. {\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-4\dfrac{\partial u}{\partial t}} (EDP da 2ª ordem, 1º grau linear)
  4. {x^{2}y\prime\prime+xy\prime+y=0} (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
  5. { \dfrac{\partial^{4}x}{\partial t^{4}}=kx(\dfrac{\partial^{2}m}{\partial n^{2}})^{2} } (EDP da 4ª ordem, 1º grau não linear)
  6. {(\dfrac{dy}{dx})^{\frac{3}{2}} +y\prime =\dfrac{1}{x}} (EDO da 1ª ordem, não linear). OBS:Em virtude do expoente {\frac{3}{2}}, a equação diferencial não pode exprimir-se como um polinómio na 1ª derivada e por isso, não se pode falar em grau da equação diferencial.
  7. {\textrm{sen}\, y\prime +y=0} (EDO da 1ª ordem, não linear).

— 1.1.2. Solução de uma equação diferencial —

Definição 4. Toda função {f} definida no intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial reduz a equação a uma identidade,é chamada solução para a equação no intervalo.

Queremos dizer que uma solução de uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem

\displaystyle F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0

é uma uma função {f} que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação;isto é,

\displaystyle F(x,f(x),f\prime (x),...f^{(n)}(x))=0

para todo x no intervalo I

Exemplo 3.Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada num intervalo (0,-{\infty})

\displaystyle y\prime\prime -2y\prime +y=0 ; y=xe^{x}

Solução:a partir das derivadas { y\prime =xe^{x}+e^{x} } e { y\prime\prime =xe^{x}+2e^{x} } teremos: { y\prime\prime -2y\prime +y=(xe^{x}+2e^{x})-2(xe^{x}+e^{x})+xe^{x}=0 }

Observe que a função constante y=o também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real.Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial.

Definição 5.Solução geral duma equação diferencial é toda função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrarias.Se a equação é de 1ª ordem, aparece uma constante, se de 2ª ordem, duas constantes, etc.Geometricamente, a solução geral ou integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

Definição 6.Solução particular é toda solução da equação diferencial que se obtém da solução geral,atribuindo-se valores as constantes.Geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes a solução geral.

Exemplo 4. A solução geral da equação diferencial { y\prime\prime +y\prime =0 } é

\displaystyle y=C_{1}+C_{2}e^{-x}

, visto que esta é uma função que depende de duas constantes arbitrarias e verifica identicamente a equação diferencial, pois { y\prime =-C_{2}e^{-x} }, { y\prime\prime =C_{2}e^{-x} } e { C_{2}e^{-x}-C_{2}e^{-x}=o }

Se fizermos { C_{1}=1 } e { C_{2}=-1 } e substituirmos na solução geral, obtemos a solução particular { y=1-e^{-x} }.

Exemplo 5. Dada a equação diferencial { y=\dfrac{2xy\prime}{1+(y\prime)^{2}} }, a solução geral é

\displaystyle y^{2}=4C(x-C)

, pois esta é uma função que verifica identicamente a equação diferencial e vem expressa em termos de uma constante arbitraria.

Uma solução particular é a função { y^{2}=4(x-1) },obtida da solução geral, fazendo C=1 e geometricamente, corresponde a curva integral (parábola) que passa no ponto (1,0).

A função { y=x } também verifica a equação identicamente, não depende de constantes arbitrarias, ma não pode ser obtida da solução geral por particularização da constante.É um outro tipo de solução, designada por solução singular, e que representa geometricamente, a envolvente da família de curvas integrais correspondentes a solução geral.

As equações diferenciais de 1ª ordem e 1º grau nunca tem soluções singulares.

Definição 7. Uma solução em que a variável dependente é expressa em termos de variáveis e constantes independentes diz-se que é uma solução explicita.

Definição 8. Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma {G(x,y)=0} trata-se de uma solução implícita.

Exemplo 6. Para {-2<x<2 }, a relação { x^{2}+y^{2}-4=0 } é uma solução implícita para a equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}

segue por derivação implícita, que

\displaystyle \dfrac{d(x^{2})}{dx}+\dfrac{d(y^{2})}{dx}-\dfrac{d(4)}{dx}=0

\displaystyle 2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0

ou

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}

A relação {x^{2}+y^{2}-4=0} define duas funções diferenciais explicitas: { y=\sqrt{4-x^{2}} } e {y=-\sqrt{4-x^{2}}} no intervalo (2;-2).

— 1.2. Problemas de valor inicial —

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em: Resolver {F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}

Sujeito a { y(x_{0})=y_{0}, y\prime (x_{0})=y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1} }

onde {x_{0}\epsilon I} e {y_{0}, y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{(n-1)}} são condições inicias.

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

Exemplo 7. Mostre que { y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x} } é uma família de soluções de

\displaystyle y\prime\prime +y\prime -2y=0.

Ache uma solução particular que satisfaz as condições iniciais

\displaystyle y(0)=1 , y\prime (0)=2.

Solução:Para achar as constantes { C_{1} } e { C_{2} } calculamos { y\prime } para obter

\displaystyle y\prime=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.

Ao substituir as condições iniciais obtemos o sistema de equações { C_{1}+C_{2}=1 }

{ C_{1}-2C_{2}=2 }

Ao se resolver esta equação obtém-se { C_{1}=\dfrac{4}{3} } e { C_{2}=-\dfrac{1}{3} }.Portanto a solução do PVI é { y=\dfrac{4}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}e^{-2x} }.

— 1.2.3. Existência e Unicidade de solução de uma EDO —

Três perguntas são importantes sobre soluções para uma EDO.

 

  • Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
  • Se tiver solução, será que esta solução é única?
  • Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o teorema de existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas caraterísticas. As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

 

Teorema 1 Considere o problema de valor inicial

  • {\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)};

    \displaystyle y(x_{0})=y_{0}

    se a função f e a derivada parcial de f em função de y são continuas numa vizinhança do ponto { (x_{0},y_{0}) } ,existe uma solução única {y=g(x)} em certa vizinhança do ponto { (x_{0},y_{0}) } que verifica a condição inicial {g(x_{0})=y_{0}}.

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial {\frac{\partial f}{\partial y}} são continuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

OBS: As condições do teorema de Picard são condições suficiente,mas não necessárias para a existência de solução única.Quando f ou sua derivada parcial {\frac{\partial f}{\partial y}} não sejam continuas, o teorema não nos permite concluir nada:Provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo 8. O teorema 1 garante que existe um intervalo contendo {x=0} no qual {y=3e^{x}} é a única solução para o problema de valor inicial:

\displaystyle y\prime =y, y(0)=3.

isso segue-se do fato de que {f(x,y)=y} e {\partial f \diagup \partial y=1} são continuas em todo plano xy.Pode ser mostrado ainda que esse intervalo seja {(-\infty,\infty)}.

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