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Exercícios resolvidos

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Vamos acompanhar a resolução de alguns exercícios.

Exercício 1

    Um calorímetro de alumínio, de {200g}, contem {500g} de água a {20^0C}. Um pedaço de alumínio de {300g} é aquecido até {100^0C} e colocado no calorímetro. Determine a temperatura final do sistema, supondo que não haja transferência de calor para o ambiente. ( { c_{agua}=4190 J/kg.K, c_{Al}=0,9 kJ/kg.K }).

  1. R: Como dados, temos:{m_{cal} = 200g = 0,2 kg,}{ m_{A} = 500g = 0,5 kg , }

    {m_{Al} = 300 g = 0,3 kg, }

    { T_{A} = 20 ^0C = 293 K = T_{cal},}

    { T_{Al} = 100^0C = 373 K , }

    { c_{A} = 4190 J/kg.K, }

    {c_{Al} = 900 J/kg.K}

    Como sabemos, ao juntarmos estes materiais, haverá troca de calor entre eles, ou seja, o calorímetro e a água, por estarem mais frios, vão receber calor do pedaço de alumínio, que está mais quente. Pelos valores das temperaturas do problema, e considerando as massas envolvidas, sabemos logo que o equilíbrio termodinâmico será atingido em uma temperatura entre {293 K} e {373 K}

    Partindo do princípio que não se perde calor para o exterior, a soma das quantidades de calor do sistema tem de ser nulas [o calor cedido por um corpo é sempre absorvido por outro corpo no sistema). Como o problema não envolve mudança de fase (mudança de estado de agregação), então teremos apenas três quantidades de calor:

    { Q_{A} = m_{A} . c_{A} . (T_F - T_{A}) }

    { Q_{Cal} = m_{Cal} . c_{Al} . (T_F - T_{Cal}) }

    { Q_{Al} = m_{Al} . c_{Al} . (T_F - T_{Al})}

    Como {Q_{A} + Q_{Cal} + Q_{Al} = 0}

    { \Rightarrow m_{A}. c_{A} . (T_F-T_{A}) + m_{Cal}. c_{Al} . (T_F-T_{Cal}) + m_{Al}. c_{Al} . (T_F - T_{Al})=0}

    Aplicando a propriedade distributiva, temos:

    {m_{A}. c_{A} . T_F-m_{A}. c_{A} .T_{A}+m_{Cal}. c_{Al} . T_F-m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal}}

    {+m_{Al}. c_{Al} . T_F-m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}=0}

    { \Rightarrow}

    {m_{A}. c_{A} . T_F +m_{Cal}. c_{Al} . T_F +m_{Al}. c_{Al} . T_F = m_{A}. c_{A} .T_{A}  }

    { + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}

    Factorizando a temperatura de equilíbrio {T_F} e isolando-a, obtemos:

    { T_F= \frac{m_{A}. c_{A} .T_{A} + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}{m_{A}. c_{A} +m_{Cal}. c_{Al} +m_{Al}. c_{Al} }=301,5K=28,5^0C }

Exercício 2

    Uma amostra de 0,5 mol de Hélio (gasoso), expande-se adiabaticamente desde uma pressão inicial de {5 atm} e uma temperatura de {500 K} para uma pressão de {1 atm}. Determine:

  1. a)A temperatura final do gás.
  2. b)O volume final do gás.
  3. c)O trabalho realizado pelo gás.
  4. a)R: Temos como dados: {n=0,5 mol,}{ i=3 \Rightarrow \gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,67 }

    (Hélio é um gás monoatómico),

    { p_1= 5 atm = 5,065.10^5 Pa,}

    { T_1=500K,}

    { p_2=1 atm = 1,013.10^5 Pa,}

    { R=8,31 J/mol. K}
    O processo realizado é uma expansão adiabática. A equação para um processo adiabático com pressões e temperaturas pode ser obtida dividindo a equação {p_1. V_1^\gamma=p_2.V_2^\gamma} pela equação {\frac{p_1^\gamma. V_1^\gamma}{T_1^\gamma} =\frac{p_2^\gamma. V_2^\gamma}{T_2^\gamma}}.

    A equação resultante será:

    { p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma= p_2^{1-\gamma}. T_2^\gamma. }

    Isolando {T_2}, ficamos com: { T_2=({\frac{p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma}{p_2^{1-\gamma}}})^{\frac{1}{\gamma}}=262,1K }

  5. b)R: como conhecemos a temperatura e a pressão do estado 2, podemos determinar o seu volume aplicando a equação de estado para um gás ideal: {V_2=n.R.T_2/p_2 = 0,01075 m^3}.
  6. c)R: Podemos calcular o trabalho aplicando a primeira lei da termodinâmica. {\Delta U= Q - W}. Como o processo é adiabático, então {Q=0}, logo {W=-\Delta U = -\frac{i}{2}.n.R.(T_2-T_1)=1482,7 J}
Exercício 3

Uma maquina térmica que opera com o ciclo reversível de Carnot, recebe calor de um depósito térmico a alta temperatura e conta com uma eficiência térmica de { 57,89\% } produzindo {2932 J} de trabalho em cada ciclo. Se o calor cedido vais para o ambiente que está a {27^0C}, Determine:

  1. a) A temperatura da fonte quente.
  2. b) A máquina cumpre com a desigualdade de Clausius? Justifique.
  3. a)R:Temos como dados:{W=2932 J,}

    {T_C=27^0C=300K,}

    {\eta=57,89\%=0,5789}

    Para o ciclo de Carnot, sabemos que {\eta=1-\frac{T_C}{T_H}}. Isolando {T_H}, temos: {T_H=\frac{T_C}{1-\eta}=712,4K=439,4^0C}

     

  4. b) R: O ciclo de Carnot é composto por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos. Para o caso de motor, recebe calor na fonte quente e sede calor a fonte fria. Considerando os processos 1-2 expansão isotérmica, 2-3 expansão adiabática, 3-4 compressão isotérmica e 4-1 compressão adiabática, então a variação de entropia no ciclo será {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41}}. Nos processos 2-3 e 4-1 não há variação de entropia. Logo: {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{34}= \frac{Q_H}{T_H}+\frac{(-Q_C)}{T_C}.} Para o ciclo de Carnot {\frac{Q_C}{Q_H} =\frac{T_C}{T_H} \Rightarrow \frac{Q_C}{T_C} =\frac{Q_H}{T_H}}, então {\Delta S= 0}, o que cumpre com a desiguldade de Clausius, que diz {\Delta S\geq 0}.
Exercício 4

      Um bloco de madeira de volume {V=60cm^3}, totalmente submerso está atado ao fundo de um recipiente com agua por meio de um fio inextensível de massa desprezável. quando o fio é cortado e o bloco emerge à superfície com {\frac{1}{4}} do seu volume fora da água. Sendo a densidade da água de {1g/cm^3}, determine:
  • a) A massa específica do bloco.
  • b) A tensão no fio, antes de ser cortado.
  1. a) R: Primeiro devemos tirar todos os dados e passa-los para o Sistema Internacional (S.I.).{V=60cm^3=60.10^{-6} m^3}{\rho_{agua}=1g/cm^3=1000kg/m^3}

    Quando o bloco flutua, o volume da parte imersa é {V_{im}=\frac{3.V}{4}=\frac{3.60.10^{-6}}{4}=45.10^{-6}m^3} De acordo com o princípio de Arquímedes, para o bloco flutuar é necessário que o Empuxo compense o peso do bloco, ou seja, {E=P\Rightarrow \rho_{liq}.V_{im}.g=\rho_{bloco}.V_{bloco}.g} Isolando a densidade do bloco, obtemos: {\rho_{bloco}=\frac{\rho_{liq}.V_{im}}{V}=750 Kg/m^3}.

  2. b) R: Quando o corpo está preso no fundo do recipiente por um fio, actuam nele três forças: Peso ou Força de gravidade, Força de Arquimedes ou Empuxo e Força de Tensão (no fio). O peso e a tensão actuam verticalmente de cima para baixo, enquanto que a força de Empuxo actua verticalmente de baixo para cima. Neste caso temos: { P+T=E\Rightarrow T=E-P=\rho_{liq}.V_{im}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g } Como, nesta situação, o bloco está completamente submerso, então {V_{bloco}=V_{im}} logo, { T=\rho_{liq}.V_{bloco}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g =0,147N}

 

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