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1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais

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— 1. Exercícios Resolvidos de Equações Diferenciais —

Abordamos alguns conceitos básicos sobre equações diferencias, agora vamos resolver alguns exercícios relacionados ao assunto.

Exercício 1.Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.

  1. {y\prime\prime-6y\prime+13y=0;} { y=e^{3x} \cos 2x}
    Solução:Da função {y=e^{3x} \cos 2x} obtemos:{y\prime=3e^{3x} \cos 2x - 2e^{3x}\sin 2x}{\\ y\prime\prime=5e^{3x}\cos 2x - 12e^{3x}\sin 2x }

    Substituindo as derivadas na equação teremos:

    \displaystyle y\prime\prime-6y\prime+13y=(5e^{3x}\cos 2x - 12e^{3x}\sin 2x)-6(3e^{3x}\cos 2x - 2e^{3x}\sin 2x)+ 13(e^{3x} \cos 2x)=0

     

  2. {y\prime\prime+y=\tan x;} {y=-(\cos x)\ln(\sec x+ tan x)}
    Solução:Da função {y=-(\cos x)\ln(\sec x+ tan x) } obtemos:{y\prime=-1+\sin x ln(\sec x +\tan x)}{\\ y\prime\prime=\tan x +\cos x ln(\sec x +\tan x)}

    Substituindo a derivada de segunda ordem na ED teremos:

    \displaystyle y\prime\prime+y=[\tan x +\cos x \ln(\sec x +\tan x)]+[-(\cos x)\ln(\sec x+ tan x)]=\tan x

Exercício 2.Comprove que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada

{\dfrac{dx}{dt}=(x-1)(1-2x);} { \ln (\dfrac{2x-1}{x-1})=t }

Encontre pelo menos uma solução explicita

Solução:escrevendo {\ln(2x-1)-\ln(x-1)=t} e derivando, teremos: {\dfrac{2}{2x-1}\dfrac{dx}{dt}-\dfrac{1}{x-1}\dfrac{dx}{dt}=1} {\Rightarrow} {(\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x-1})\dfrac{dx}{dt}=1}

{\dfrac{2x-2-2x+1}{(2x-1)(x-1)}\dfrac{dx}{dt}=1} {\Rightarrow } {\dfrac{dx}{dt}=-(2x-1)(x-1)\Rightarrow} {\dfrac{dx}{dt}=(x-1)(1-2x)}

Para acharmos a solução explicita temos que isolar x na solução implícita fazendo:

{(\dfrac{2x-1}{x-1})=e^{t}\Rightarrow} { 2x-1=xe^{t}-e^{t}\Rightarrow } {(e^{t}-1)=(e^{t}-2)x } A solução explicita será: { x=\dfrac{(e^{t}-1)}{(e^{t}-2)} }

Exercício 3.Verifique se a família de funções dada é uma solução da equação diferencial.

  1. { \dfrac{dy}{dx}+2xy=1;} {y=e^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt+c_{1}e^{-x^{2}}}
    Solução:Derivando a função { y=e^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt+c_{1}e^{-x^{2}} } obtemos: { y\prime=e^{-x^{2}}e^{x^{2}}-2xe^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt-2c_{1}xe^{-x^{2}}\Rightarrow} {y\prime=1-2xe^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt-2c_{1}xe^{-x^{2}}} substituindo a derivada na equação diferencial teremos: {\dfrac{dy}{dx}+2xy=1-2xe^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt-2c_{1}xe^{-x^{2}}+2xe^{-x^{2}}\int_0^x e^{t^{2}}dt+2xc_{1}e^{-x^{2}}}

    \displaystyle \dfrac{dy}{dx}+2xy=1

  2. {\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0; } { y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}}
    Solução:Derivando a função { y=c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x} } teremos:{\dfrac{dy}{dx}=(2c_{1}+c_{2})e^{2x}+2c_{2}xe^{2x}}{\\ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=(4c_{1}+4c_{2})e^{2x}+4c_{2}xe^{2x}}

    substituindo as derivadas na equação diferencial teremos: {\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=(4c_{1}+4c_{2})e^{2x}+4c_{2}xe^{2x}-4[(2c_{1}+c_{2})e^{2x}+2c_{2}xe^{2x}]+c_{1}e^{2x}+c_{2}xe^{2x}}

    {\\ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=(4c_{1}+4c_{2}-8c_{1}-4c_{2})e^{2x}-(4c_{2}-8c_{2}+4c_{2})xe^{2x}=0}

Exercício 4:A função {y=1/(1+c_{1}e^{-x}) } é uma família de soluções da ED de primeira ordem { y\prime=y-y^{2}.}Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e na condição inicial { y(0)=-\frac{1}{3}.}

Solução:substituindo as condições iniciais na função, teremos:

\displaystyle -\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{1+c_{1}}

Determinando valor de {c_{1}} teremos:{c_{1}=-4}

Substituindo o valor de {c_{1}} na função teremos: {y=1/(1-4e^{-x})}

Exercício 5:A função {y=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{-x}} é uma família de soluções da ED de segunda ordem { y\prime\prime-y=0.}Determine uma solução para o problema de valor inicial que consiste nesta ED e nas seguintes condições iniciais: {y(0)=1,} {y\prime(0)=2}

Solução:determinando a primeira derivada da função temos:

\displaystyle y\prime=c_{1}e^{x}-c_{2}e^{-x}

substituindo as condições iniciais {y(0)=1,} {y\prime(0)=2} na função e na primeira derivada temos:

\displaystyle \begin{cases} c_{1}+c_{2}=1\\ c_{1}-c_{2}=2 \end{cases}

Determinando valor de {c_{1}} e {c_{2}} teremos:{c_{1}=\dfrac{3}{2}} e {c_{2}=-\dfrac{1}{2}}

Substituindo o valor de {c_{1}} e {c_{2}} na função teremos: {y=\dfrac{3}{2}e^{x}-\dfrac{1}{2}e^{-x}}

Exercício 6.Determine uma região do plano xy para a qual a equação diferencial { (1+y^{3})y\prime=x^{2} } teria uma única solução passando por um ponto {(x_{0},y_{0})} na região.

Solução:Pelo Teorema de Picard temos:{ f(x,y)=\dfrac{x^{2} }{(1+y^{3})} }

Derivando a função temos:{ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{-3x^{2}y^{2}}{(1+y^{3})^{2}}} assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde { y\neq-1 }

Exercício 7.Verifique se o Teorema de Picard garante unicidade de solução para a equação diferencial { y\prime=\sqrt{y^{2}-9},} passando pelo ponto dado:

  1. (1,4)
  2. (5,3)

Solução:Pelo Teorema de Picard temos que:{ f(x,y)=\sqrt{y^{2}-9} }

Derivando a função temos:{ \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}-9}} } assim, a equação diferencial terá uma única solução, em qualquer região, onde {y>3.} então:

  1. a equação diferencial tem uma única solução no ponto (1,4).
  2. a equação diferencial não garante uma única solução no ponto (5,3).
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