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Como a Física explica a miragem? Princípio de Fermat. Princípio de Huygens.

— 2.5. Principio de Fermat —

A propagação rectilínea da luz pode parecer um principio fundamental , do qual derivamos muitos outros principios da Óptica Geométrica, mas podemos mostrar que não. Podemos mesmo pensar que a propagação rectilínea da luz é uma consequência de um comportamento peculiar que a mesma apresenta. Isto, na realidade, é consequência do principio de movimento da luz.

Quando queremos sair de um lugar para outro, procuramos escolher, em geral, a rota que nos apresente um caminho percorrido menor. Mas na Natureza isso não é regra… Os movimentos naturais podem ocorrer em caminhos que não obedecem ao princípio do menor caminho. Repare no exemplo da corrente eléctrica (isto se já estiver familiarizado com o electromagnetismo…): Se juntarmos dois condutores, por exemplo, um de {100m} e outro de {120m}, sendo que o condutor maior tenha uma resistência eléctrica muito menor que o segundo. Ao estabelecermos uma diferença de potencial nos dois, observamos que haverá uma corrente eléctrica maior no condutor mais comprido. Podemos imaginar que, um electrão na extremidade de potencial menor, com duas opções de caminho, teria mais probabilidade de escolher o caminho mais longo, onde há menos oposição, do que optar pelo caminho mais curto.

Imagine um dia de intenso congestionamento e que pretende sair de sua casa para a Universidade, de carro. Indo pela via principal, enfrentas um congestionamento de transito terrível, e levarias duas horas. Mas indo por um atalho, que é bem mais distante, levarias menos de uma hora. O quê escolherias?

De certeza que escolheu o caminho mais longo, desde que chegue mais rápido… pois a luz também comporta-se assim e este é o conteúdo fundamental do princípio de Fermat.

O princípio de Fermat estabelece que a luz, no caso em que não sofre reflexões, propaga-se de um ponto para o outro pela trajectória que leva o menor tempo (princípio do tempo mínimo).

Para entendermos melhor o princípio de Fermat, vamos considerar o exemplo da luz propagando-se em vários meios com índice de refração diferentes. Saindo do ponto A para o ponto B, era esperado que a luz percorresse a trajetória rectilínea que une estes ponto, mas tal não acontece. A luz seguirá a trajectória descrita na figura 25.

Figura 25: Propagação de um raio numa série de meios homogéneos. [3] Adaptado.

Porque não seguiu a trajectória rectilínea? A resposta está no princípio de Fermat.

O tempo total para ele realizar o percurso indicado é dado pelo somatório dos tempos gastos em cada meio:

\displaystyle t=\sum_{i=1}^n t_i \ \ \ \ \ (20)

O tempo percorrido em cada porção do trajecto é {t_i=\frac{d_i}{v_i}}. Se relacionarmos a velocidade de propagação da luz no meio com o índice de refração, obteremos que {n_i=\frac{c}{v_i}\Rightarrow v_i=\frac{c}{n_i}}. Então,{t_i= \frac{n_i.d_i}{c}=\frac{1}{c} . n_i . d_i} Logo: {t=\sum_{i=1}^n \frac{1}{c} . n_i . d_i = \frac{1}{c} \sum_{i=1}^n . n_i . d_i} O parâmetro {\sum_{i=1}^n . n_i . d_i=[\Delta]} é chamado de caminho óptico. Então, o tempo mínimo, não corresponde exactamente a trajectória com menor distância, mas sim àquela com menor caminho óptico.

O princípio de Fermat é muito útil, pois ele explica aspectos que determinam a trajectória de um feixe luminoso. Com o princípio de Fermat, podemos até mesmo deduzir a Lei de Snell. Consideremos o exemplo da figura 26.

Figura 26: Dedução da Lei de Snell. [3] Adaptado.

Vamos supor que a luz saia do ponto {P_1} para o ponto {P_2}. Qual seria a trajectória? Sabemos que num meio homogéneo, a luz propaga-se rectilineamente, portanto a trajectória no meio 1 e no meio 2 são retilíneas. Mas esta trajectória deve obedecer o princípio de Fermat, ou seja, deve ser feita no menor caminho óptico. Neste caso, temos:

{[\Delta]= n_1 . d_1 + n_2 . d_2 }

Usando os parâmetros da figura, o caminho óptico pode ser escrito da seguinte forma:

\displaystyle [\Delta]=n_1. \sqrt{(x_1)^{2}+(y_1)^2} + n_2. \sqrt{(x_2)^{2}+(y_2)^2} \ \ \ \ \

\displaystyle [\Delta]=n_1. \sqrt{(x_1)^{2}+(y_1)^2} + n_2. \sqrt{(x_2)^{2}+(y-y_1)^2} \ \ \ \ \

Como os pontos {P_1} e {P_2} são fixos, então {x_1}e {x_2} também o são. Mas {y_1} e {y_2} podem variar em função da trajectória.

Como a trajectória deve ser aquela para a qual o caminho óptico é mínimo, então vamos derivar o caminho óptico em relação a uma das suas variáveis (no caso {y_1}) e igualar a sua derivada a zero.

\displaystyle \frac{d [\Delta]}{d y_1}=\frac{2. n_1. y_1}{2. \sqrt{(x_1)^{2}+(y_1)^2} }+\frac{-2. n_2. (y-y_1)}{2. \sqrt{(x_2)^{2}+(y-y_1)^2} }=0 \ \ \ \ \ (21)

Simplificando a expressão obtemos:

\displaystyle \frac{d [\Delta]}{d y_1}=\frac{n_1. y_1}{\sqrt{(x_1)^{2}+(y_1)^2} }-\frac{n_2. y_2}{\sqrt{(x_2)^{2}+(y_2)^2} }=0 \ \ \ \ \ (22)

 

Lembre-se que {\frac{y_1}{\sqrt{(x_1)^{2}+(y_1)^2} }=sen\theta_1} e {\frac{ (y_2)}{sqrt{(x_2)^{2}+(y_2)^2} }=sen\theta_2}. Logo, a equação 22 pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle n_1 sen\theta_1= n_2 sen\theta_2 \ \ \ \ \ (23)

 

Concluímos assim que a trajectória seguida pelos raios de luz entre os pontos dados, seria aquela que obedece a lei de Snell.

Este princípio, explica a trajectória escolhidas pelos raios luminosos em diversas situações. Uma delas é a miragem.

Quando o a temperatura atmosférica está muita alta (normalmente em dias muito ensolarados), ao olharmos obliquamente para o chão, numa direcção de observação quase que horizontal, numa estrada ou até mesmo num deserto, temos a sensação de ver água no chão, devido ao brilho que observamos no chão, que é idêntico ao brilho da luz refletida no chão quando este está molhado. Por isso, ficamos com a sensação que há água no chão.

Mas ao aproximarmo-nos, obervamos que não há água nenhuma. O que estávamos a ver na realidade é a luz do sol (mas luz directa do sol, sem ser refletida) que sofreu um desvio e moveu-se curvamente até aos nossos olhos. A luz vem da direcção do chão, mas é a luz solar a incidir directamente aos nossos olhos. Essa mudança de direcção ocorre devido as variações do índice de refração do ar com a temperatura. Os pontos próximos do chão estarão mais aquecidos e terão um índice de refração diferente dos pontos mais afastados dele. Assim o índice de refração do ar não é constante, e portanto, a luz já não se propaga rectilineamente.

 

 

— 2.6. Princípio de Huygens —

O principio de Huygens, é uma ferramenta muito útil para a Óptica Geométrica, bem como para a Óptica Ondulatória, podendo servir de base para comprovar muitas das leis destas duas áreas da Óptica, e dando mais um contributo para a sustentação da teoria de dualidade onda- partícula.

Como sabemos (da mecânica e do electromagnetismo) uma onda é uma perturbação que se propaga no espaço, e no caso da luz, é uma perturbação do campo electromagnético que se propaga no espaço.

Para melhor imaginarmos uma onda, é bom recordar-se das ondas que se criam na superfície da água tranquila quando deixamos cair um objecto nela.

Existirão sempre vários pontos que terão o mesmo tipo de movimento. O conjunto de todos os pontos da onda que tenham o mesmo tipo de movimento e que possam ser interligados por uma envolvente são chamados de frente de onda. Por exemplo, nas ondas criadas na superfície da água, podemos ver as crias que formam uma superfície sobrelevada na água.

Segundo Huygens, cada ponto na frente de onda age como uma fonte produzindo ondas secundárias que espalham em todas as direções, com uma velocidade igual a velocidade de propagação da onda. A função envolvente das frentes de onda das ondas secundárias forma a nova frente de onda total. A figura 27 ilustra este conceito.

Figura 27: Ilustração do princípio de Huygens para a construção geométrica de uma frente de onda, a partir de uma frente de onda anterior.[5]

O principio de Huygens vai nos ajudar a prever o comportamento da onda no seu movimento, bem como a passagem da onda por certos objectos.

Podemos utilizar o princípio de Huygens para deduzir a lei de reflexão e a lei de refração, bem como a difração da luz. Acompanhe, por exemplo, a dedução da lei de reflexão. Considere a figura 28 onde uma onda plana dirige-se a um obstáculo {MM'} plano.

Figura 28: Dedução da lei de reflexão através do princípio de Huygens. [5]Adaptado

A linha {AA'} representa a frente de onda de uma onda plana num dado instante {t}. A recta {OB'} representa a frente de onda da mesma onda num outro instante {t+\Delta t} e a recta {NC'} representa a frente de onda da mesma onda num outro instante {t+2.\Delta t}

Os pontos da frente de onda {AA'} que estejam acima do ponto {P}, apor o intervalo de tempo {\Delta t} vão constituir a frente de onda {OB'}. Mas os pontos da frente de onda {AA'} abaixo do ponto {P}, após esse intervalo, ter-se-ão chocado com obstáculo o obstáculo {MM'} e ter-se-ão refletido, seguindo a trajectória {OB}. o mesmo sucede com os pontos da frente de onda {OB'} após o intervalo de tempo {2.\Delta t}. Queremos mostrar a relação entre os ângulos da frente de onda {OB'} (que corresponde a onda incidente) e a frente de onda {OB} ( que corresponde a onda refletida). Se analisarmos bem, no instante {t}, o ponto {P} encontra-se a uma distância {vt} do ponto {O} (que éstá sobre o obstáculo{MM'}) enquanto que o ponto {A} já se encontra no obstáculo {MM'}. Portanto, de acordo com o princípio de Huygens, o ponto {P} vai originar uma onda (ainda incidente) que vai originar a frente de onda no ponto {O} e que vai constituir a nova frente de onda {OB'}, enquanto que o ponto {A} (já refletido) vai originar uma onda que vai originar uma frente de onda no ponto {Q} e que vai constituir a frente de onda {OB}. Na figura 28 (b), vemos esta representação.

Pela simetria dos triângulos, podemos concluir que os angulos {\theta_a} e {\theta_r} são iguais, comprovando assim a lei da reflexão.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, 2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

2.4. Índice de Refração. Reflexão total interna. Ângulo crítico

A velocidade da luz não é igual em todos os meios. O seu valor no vácuo é aproximadamente {3.10^8 m/s}. O índice de refração absoluto ({n}) de um meio caracteriza a densidade óptica deste meio. É definido como sendo a relação entre a velocidade da luz no vácuo (c) e a velocidade da luz nesse meio (v).

\displaystyle n=\frac{c}{v} \ \ \ \ \ (17)

 

O índice de refração relativo ({n_{21}}) é a relação entre o índice de refração do meio 2 e o índice de refração do meio 1.

\displaystyle n_{21}=\frac{n_2}{n_1} \ \ \ \ \ (18)

 

Na prática, utiliza-se o índice de refração relativo {n_{21}} de um dado meio em relação ao índice de refração da água. Quando o feixe de luz incide sobre a superfície de separação entre dois meios de índices de refração diferentes {n_1} e {n_2} (por exemplo água e ar, ar e vidro, etc.), transparentes, parte dela reflete-se (volta para o meio de onde incidiu) e outra parte refrata-se (penetra no outro meio) conforme a figura 2.

Figura 21: Reflexão e Refracção da Luz.

Como sabemos, a velocidade de propagação de uma onda é função do meio; portanto, na reflexão, podemos afirmar: A onda refletida terá a mesma velocidade da onda incidente, pois ambas se propagam no mesmo meio.

Quando uma onda sofre refração, sua frequência e sua fase não variam. O que caracteriza a refração é uma mudança na velocidade de propagação, podendo haver ou não mudança na direção de propagação. Chamamos de ângulo de incidência ({i_1}) ao ângulo formado entre o raio (ou feixe) luminoso incidente e a normal à superfície; e ângulo de refração ({i_2}) ao ângulo formado entre o raio refratado e a normal à superfície.

Segundo a lei de Snell:

\displaystyle \frac{sen (i_1)}{sen (i_2)}=\frac{n_2}{n_1} =n_{21} \ \ \ \ \ (19)

Se {n_2>n_1}, então {i_1>i_2}, quer dizer, o raio refratado do meio de densidade óptica menor para o meio mais denso, aproxima-se à normal, e vice-versa. Na figura 2 o meio 1 é menos denso do que o meio 2. pelo princípio de reversibilidade dos raios luminosos, podemos analisar na mesma figura a passagem do meio 1 para o meio 2 (sentido indicado pelas setas, que corresponde a passagem do meio menos denso para o meio mais denso), ou a passagem do meio 2 para o meio 1 (sentido oposto ao indicado pelas setas, que corresponde a refração do meio mais denso para o meio menos denso).

Figura 22: Refracção da Luz do meio 1 para o meio 2 e vice-versa .

Se consideramos a passagem da luz do meio 2 para o meio 1, então os raios {1'}, {2'}, {3'} e {4'} são incidentes e os raios {1}, {2}, {3}, {4} são os raios refratados. Neste caso, teremos vários raios refratados desde {0^0} até {\alpha_C}, e observadores em posições cujo ângulo de visão corresponde aos ângulos de refração de {90^0- \alpha_C} até {90^0} não observarão os raios (terão uma imagem escura), porque nestes ângulos não se refratará nenhum raio. Chama-se ângulo limite ou ângulo crítico ({\alpha_{C}}) ao ângulo de incidência para o qual o ângulo de refração é igual a 90º, ou seja, ao angulo de incidência a partir do qual já não haverá refracção.

Quando os raios incidentes saem do meio menos denso (meio 1) para o meios mais denso (meio 2), os raios incidentes com ângulos menores que o ângulo limite, refratarão no segundo meio e serão parcialmente refletidos no primeiro meio, enquanto os raios que incidem com um ângulo superior ao ângulo limite, serão refletidos totalmente no primeiro meio sem se refratarem para o segundo. Por isso o ângulo limite também é chamado de ângulo de reflexão total interna.

Os instrumentos ópticos que se utilizam para determinar o índice de refração através da medição do ângulo limite chamam-se Refratómetros.

Figura 23: Índice de refração absoluto de algumas substâncias.

— 2.4.5. Algumas considerações sobre o índice de refração —

Dado que a velocidade da luz no vazio é maior que a velocidade da luz em qualquer outro meio óptico ({c > v}), o índice de refracção absoluto é sempre superior a unidade, {n\geqslant 1} .

O índice de refracção absoluto do ar é aproximadamente igual a 1, pois {v_{ar}\cong c}. O índice de refracção absoluto de uma substância pode designar-se por refrangência; o seu valor depende da cor da luz, ou seja, da frequência da onda luminosa. Este aumenta do vermelho ao violeta que explica o fenómeno da dispersão da luz branca pelo prisma ou pelas gotas de água das nuvens originando o arco – íris.

Figura 24: Índice de refracção do vidro crown para diversas cores (diversas frequências)

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, 2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

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