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Equações Diferenciais Exatas e Lineares

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— 2.3. Equações Diferenciais Exatas —

Definição 11. Uma expressão diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

é uma diferencial exata em uma região do plano xy se ela corresponde á diferencial total de alguma função f(x,y).Uma equação diferencial da forma

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata

Teorema 2 Sejam M(x,y) e N(x,y) funções continuas com derivadas parciais continuas em uma região retangular R definida por { a<x<b, c<y<d. }Então, uma condição necessária e suficiente para que

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy

seja uma equação diferencial exata é

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}

— 2.3.2. Método de solução —

Dada a equação

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \ \ \ \ \ (1)

mostre primeiro que

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} \ \ \ \ \ (2)

Depois suponha que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=M(x,y) \ \ \ \ \ (3)

dai podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante, escrevemos:

\displaystyle f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y) \ \ \ \ \ (4)

em que a função arbitraria g(y) é a constante de integração.Agora, derivando a equação (4) com relação a y e supondo {\partial f/\partial y=N(x,y):}

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g\prime(y)=N(x,y). \ \ \ \ \ (5)

Assim

\displaystyle g\prime(y)=N(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx \ \ \ \ \ (6)

Finalmente podemos integrar a equação (6) com relação a y e substituir o resultado em (4).A solução para a equação é {f(x,y)=c}

Nota:Poderíamos também começar o procedimento acima com a suposição de que { \partial f/\partial y=N(x,y). }Depois, integrando N com relação a y e derivando o resultado, encontramos o análogo de (4) e (6), que seria respetivamente.

\displaystyle f(x,y)=\int N(x,y)dy+h(x) \quad h\prime(x)=M(x,y)-\dfrac{\partial}{\partial x}\int N(x,y)dy

Exemplo 1.Resolva a seguinte equação

\displaystyle (6xy-2y^{2})dx+(3x^{2}-4xy)dy=0

Solução.com {M(x,y)=(6xy-2y^{2}) \quad N(x,y)=(3x^{2}-4xy)} temos

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=6x-4y=\dfrac{\partial N}{\partial x}

logo, a equação é exata e existe uma função f(x,y) tal que

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}=(6xy-2y^{2})

depois de integrar em relação a x, obtemos:

\displaystyle f(x,y)=3x^{2}y-2xy^{2}+g(y)

Derivando a ultima expressão com relação a y e igualando o resultado a N(x,y), temos

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}-4xy+g\prime(y)=3x^{2}-4xy

segue-se que

{g\prime(y)=0} integrando teremos {g(y)=c}

A constante de integração não precisa ser incluída, pois a solução é { f(x,y)=c} então

\displaystyle 3x^{2}y-2xy^{2}=c

OBS:Poderíamos resolver também supondo que {\dfrac{\partial f}{\partial y}=(3x^{2}-4xy)}

— 2.3.3. Equações diferenciais exatas com fator de Integração —

Definição 12. Se existe uma função {\mu(x,y)} tal que

\displaystyle \mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0

é exata, então {\mu(x,y)} chama-se fator de integração da equação diferencial

\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Quando a expressão {M(x,y)dx+N(x,y)dy=0} não é diferencial exata, isto é,

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} ,

mostra-se que há uma infinidade de funções {\mu(x,y),} tais que

\displaystyle \mu(Mdx+Ndy).

Se o fator de integração é em função de x temos:

\displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)} \Rightarrow P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)

Se o fator de integração é em função de y temos:

\displaystyle \mu(y)=e^{\int P(y)} \Rightarrow P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)

Exemplo 2.Encontrar o fator de integração de:

\displaystyle 3x^{2}ydx+ydy=0

Solução:Para acharmos o fator de integração temos de verificar se o fator de integração será em função de “x” ou “y”.Para isso vamos determinar primeiro as seguintes derivadas parciais:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=3x^{2} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=0

vamos provar se {\mu(x)} é o fator de integração:

{P(x)=\dfrac{1}{N}\left( \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}\right)=\dfrac{3x^{2} }{y}} é uma função de x,logo a função {\mu(x)} não é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.

por isso vamos achar {\mu(y)} com:

{P(y)=\dfrac{1}{M}\left(\dfrac{\partial N}{\partial x}-\dfrac{\partial M}{\partial y}\right)=\dfrac{0-3x^{2}}{3x^{2}y}=-\dfrac{1}{y},} é uma função de y,então a função {\mu(y)} é o fator de integração capaz de converter a equação diferencial em uma exata.Nesse caso, teremos:

{\mu(y)=e^{\int -\dfrac{dy}{y}}=e^{-ln y}=\dfrac{1}{y}} com {y\neq0}

multiplicando a equação diferencial com este fator teremos:

\displaystyle 3x^{2}dx+dy=0 \quad M=3x^{2} \quad N=1

logo:

\displaystyle \dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{\partial M}{\partial y}=0

agora a equação é exata e existe uma função tal que:

{\dfrac{\partial f}{\partial x}=3x^{2} \Rightarrow f=x^{3}+g(y)} derivando em relação a y e igualando a{\frac{\partial f}{\partial y}=1}temos:

\displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial y}=g\prime(y)=1 \Rightarrow g(y)=y \Rightarrow f=x^{3}+y

então:

\displaystyle x^{3}+y=c

a família de curvas da solução para alguns valores de c é:

eqdf2

Figura 1:Família de curvas da solução do Exemplo 2

— 2.4. Equações lineares —

Definição 13. Uma equação diferencial linear de 1ª ordem tem a forma:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \ \ \ \ \ (7)

se {Q(x)=0}, a equação é dita homogénea ou incompleta; enquanto,

se {Q(x)\neq0}, a equação é dita não homogénea ou completa.

Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber:

  1. Método do fator integrante
  2. Método de Lagrange

— 2.4.4. Método do Fator Integrante —

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outra equação do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente.Dessa maneira, vamos retornar a equação original de nosso problema

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)

vamos reescrever esta ultima sob a forma

\displaystyle (Py-Q)dx+dy=0

multiplicando ambos os membros por {e^{\int Pdx}} (fator integrante) obtemos a expressão:

\displaystyle e^{\int Pdx}(Py-Q)dx+e^{\int Pdx}dy=0

Identificando as funções M e N temos:

\displaystyle M=e^{\int Pdx}(Py-Q) \quad N=e^{\int Pdx}

derivando M em relação a e N com relação a x, obtemos:

\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}=Pe^{\int Pdx} \quad \dfrac{\partial N}{\partial x}=Pe^{\int Pdx}

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.

Exemplo 3.Resolve pelo método do fator integrante a seguinte equação:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y=x

Solução:sabemos que {P(x)=\dfrac{2}{x} \quad Q(x)=x,} então o fator integrante é

\displaystyle \mu(x)=e^{\int \frac{2}{x}dx}=e^{2ln x}=x^{2}

multiplicando a equação acima pelo fator integrante obtemos:

\displaystyle x^{2}\dfrac{dy}{dx}+2xy=x^{3}

o lado esquerdo é igual a derivada do produto {x^{2}y}.Logo a equação acima é equivalente a:

\displaystyle \dfrac{d}{dx}\left(x^{2}y\right) =x^{3}

Integrando-se temos:

\displaystyle x^{2}y=\dfrac{x^{4}}{4}+c

explicitando y temos que a solução geral da equação diferencial é

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{c}{x^{2}}

podemos esboçar as soluções desta equação diferencial.Para {c=0} a solução é a parábola

\displaystyle y=\dfrac{x^{2}}{4}

para {c\neq0},temos que o domínio de y é o conjunto dos números reais tais que {x\neq0}

\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}y(x)=+\infty \quad c\neq0

além disso

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=+\infty \quad se \quad c>0

\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}y(x)=-\infty \quad se \quad c<0

vamos analisar o crescimento e decrescimento das soluções

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{2c}{x^{3}}=0

se, e somente se {x^{4}=4c}

assim se {c>0} as soluções tem somente pontos críticos em {x=\pm\sqrt[4]{4c}} e se {c<0} elas não tem ponto critico.

eqdf1

Figura 2: Soluções da equação do Exemplo 3

— 2.4.5. Método de Lagrange —

Esse método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (7), onde { t=\phi(x)} e {z=\psi(x)} sendo z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim {y=z.t}

Derivando em relação a x temos:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx} \ \ \ \ \ (8)

substituindo (8) em (7) vamos obter:

\displaystyle z\dfrac{dt}{dx}+t\dfrac{dz}{dx}+Pzt=Q

\displaystyle z\left(\dfrac{dt}{dx}+Pt\right)+t\dfrac{dz}{dx}=Q \ \ \ \ \ (9)

Para integral a equação (9), examina-se dois casos particulares da equação (7) a saber:

  1. P=0, então {\dfrac{dy}{dx}=Q}(não homogénea) logo: {y=\int Qdx+c}
  2. Q=0, então {\dfrac{dy}{dx}+Py=0}(equação homogénea) que resulta em:

{dy+Pydx=0} que é uma equação de variáveis separáveis.

daí, {\dfrac{dy}{y}+Pdx=0} integrando essa equação resulta em

\displaystyle ln y=c-\int Pdx \Rightarrow y=e^{c-\int Pdx}=e^{c}e^{-\int Pdx}

Fazendo {k=e^{c}}, temos {y=ke^{c-\int Pdx}} que representa a solução homogénea ou incompleta.

Agora, vamos pesquisar na equação (9) valores para “t” e “z”, uma vez que {y=z.t}, teremos a solução da equação (7) que é uma equação linear completa (não homogénea).

Na equação (9) vamos impor o coeficiente de z como sendo nulo.

\displaystyle \dfrac{dt}{dx}+Pt=0

como já estudamos no caso 2 teremos:{t=ke^{-\int Pdx},}substituindo este resultado em

\displaystyle t\dfrac{dz}{dx}=Q

temos

\displaystyle ke^{-\int Pdx}\dfrac{dz}{dx}=Q \Rightarrow dz=\dfrac{1}{k}e^{\int Pdx}Qdx

integrando este ultimo resultado temos:

\displaystyle z=\dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c

lembrando que {y=z.t} vamos obter, substituindo “t” e “z”:

\displaystyle y=ke^{-\int Pdx}\left[ \dfrac{1}{k}\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right]

onde resulta, finalmente em:

\displaystyle y=e^{-\int Pdx}\left[\int e^{\int Pdx}Qdx+c\right] \ \ \ \ \ (10)

que é a solução geral da equação

Exemplo 4.Resolver pelo método de Lagrange a seguinte equação:

\displaystyle y\prime=2y+x

Solução:Nota-se que a equação {y\prime-2y=x} é linear, onde:

\displaystyle P(x)=-2 \quad Q(x)=x.

A equação diferencial homogénea correspondente é {y\prime-2y=0} que tem como solução: {y=ce^{2x}}

fazendo {z=c} e {t=e^{2x}} acharemos a função z dada por:

\displaystyle z=\int e^{\int Pdx}Qdx+c=\int e^{-\int 2dx}xdx+c=-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c

como a solução da equação homogénea é {y=zt},então

\displaystyle y=\left(-\dfrac{x}{2}e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+c\right)e^{2x} \Rightarrow y=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{4}+ce^{2x}

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