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Como a Física explica o arco-íris? Dispersão da luz. Prisma.

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— 2.7.14. Dispersão da luz. Prisma. —

O arco-íris é um fenómeno natural muito bonito, que suscita a curiosidade de muitos. Como se formam aquelas cores? De onde vêm?

A resposta desta questão está na dispersão da luz. Dispersão da luz é o fenómeno da separação de uma onda luminosa em várias componentes espectrais.

Como estudamos, existe luz monocromática (com uma única componente espectral, ou seja, um único comprimento de onda) e luz policromática (com várias componentes espectrais). A luz da maioria das fontes ordinárias (lâmpadas incandescentes, lâmpadas fluorescentes, lâmpadas de descarga, luz solar, luz emitida por aquecimento dos corpos, etc.) são policromáticas. No nosso dia-a-dia, só a luz provenientes de alguns LED´s como vermelhos, azuis, amarelos e verdes e a luz proveniente de um laser são monocromáticas.

Como estudamos também, no item em que falamos de índice de refração, a forma como feixes de diferentes comprimentos de onda passa por um material é ligeiramente diferente, ou seja, ao refratar-se numa dada superfície de separação, os raios de comprimentos de onda diferente passarão de modo diferente. Mesmo que dois feixes com comprimento de onda diferente incidam sobre uma superfície de separação com o o mesmo ângulo de incidência, os ângulos de refração serão minimamente diferentes. Essa diferença ocorre porque o índice de refração de um material não é fixo para todo tipo de radiações, ou seja, radiações diferentes, têm, para o mesmo material, índice de refração diferente. É como se a oposição que o material oferece a passagem da luz variasse de acordo com o comprimento de onda da mesma.

Alguns sistemas acentuam esta diferença e outros não. Um dos sistemas que acentua esta diferença é o prisma. Isaac Newton usou-o para mostrar que a luz branca é policromática, provocando a dispersão da luz branca num prisma, observando assim o seu espéctro.

Figura 48: Prisma. [4]

Um bloco de material transparente e homogéneo com duas faces laterais lisas e inclinadas como indica a figura 48, é um prisma.

Figura 49: Dispersão no prisma.[4]

Observe a figura 49. Quando um raio de luz policromático, por exemplo a luz branca, incide num prisma com o certo ângulo, sendo que os diversos comprimentos de onda sofrem refração como se o índice de refração do material de que é feito o prisma fosse diferente para cada um deles, os ângulos com que eles saem do prisma serão então diferentes, saindo cada um numa direcção relativamente diferente. Se colocarmos um anteparo branco no caminho do feixe que sai do prisma, poderemos observar o espéctro da cor branca (arco-íris).

Em geral, a extremidade mais delgada da gota de água apresenta formato idêntico ao de um prisma, logo, quando a luz incide sobre as gotas de água, acontece algo idêntico ao que acontece no prisma; só que, tal como no prisma, a dispersão só é observada para certos ângulos.

Figura 50: Dispersão da luz na gota de água. Arco-íris. [4]

No caso mais simples de passagem da luz no prisma, em que a luz incide sobre uma das faces do prisma e refrata-se na face imediatamente a seguir (relativamente a passagem do raio), as relações entre os diversos ângulos podem ser deduzidas.

Figura 51: Dedução das fórmulas do prisma.

Seja um raio luminoso que fica no plano de uma certa secção transversal do prisma {RST} e que incide sobre a aresta {RS} sob o ângulo de incidência {\alpha_1}. Este raio é refratado no interior do prisma com um ângulo {\beta_1} e, ainda no interior do prisma, incide sobre a face {RT} com um ângulo {\beta_2} e refrata-se novamente no ar sob o ângulo de emergência {\alpha_2}. Consideramos {n} o índice de refracção do meio de que é feito o prisma em relação ao meio ambiente e {A} o ângulo no vértice superior do prisma (vértice oposto á base do triângulo, ver figura 51).

Na figura, {c} e {d} são as normais às superfícies {RS} e {RT}, respectivamente. {\delta} é o desvio que o prisma provoca no raio incidente, ou seja, a separação angular entre o raio incidente e o raio emergente.

No triângulo {MOP}, aplicando o teorema dos ângulos internos de um triângulo, podemos obter para o ângulo {x}:

\displaystyle x=180^0-\beta_1-\beta_2 \ \ \ \ \ (45)

 

No quadrilátero {MROP}, como as rectas {c} e {d} são normais às superfícies {RS} e {RT}, então os seus ângulos internos são {90^0}. Logo, aplicando o teorema dos ângulos internos de um quadrilátero, teremos: {A+90^0+90^0+x=360^0\Rightarrow A=180^0-x}. Substituindo {x} pela equação 45, obtemos:

\displaystyle A=\beta_1+\beta_2 \ \ \ \ \ (46)

 

Analisando o triângulo {MNP}, de acordo com o teorema de ângulos opostos em rectas que se cruzam, obtemos {w=\alpha_1-\beta_1} e {z=\alpha_2-\beta_2}. Logo, {y=180^0-w-z=180^0-\alpha_1+\beta_1-\alpha_2+\beta_2}. Substituindo a equação 46, obtemos:

\displaystyle y=180^0-\alpha_1-\alpha_2+A \ \ \ \ \ (47)

 

Como {y} e {\delta} são suplementares, então {\delta=180^0-y}. Substituindo {y} pelo valor obtido na equação 47, e efectuando as devidas simplificações, obtemos:

\displaystyle \delta=\alpha_1+\alpha_2-A \ \ \ \ \ (48)

 

Os ângulos {\alpha_1} e {\beta_1}, bem como os ângulos {\alpha_2} e {\beta_2} estão relacionados pela lei de Snell-Descartes para a refração (ar-material do prisma, para o primeiro caso, e material do prisma-ar para o segundo caso).

Se o prisma estiver imerso na água ou noutra substância qualquer, devemos apenas mudar o índice de refração relativo do material de que é feito o prisma, ou seja, {n}.

Vale lembrar que podem haver situações em que a luz, na segunda superfície ({RT}, no nosso caso) sofra reflexão total interna, e o raio emergente saia num outra face. Nestes casos, estas equações não se aplicam, sendo necessário aplicar raciocínios idênticos para deduzir as suas equações.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

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