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Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem.

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— 3. Aplicações das equações diferenciais de primeira ordem. —

Em ciências, engenharia, economia e ate mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenómeno em termos matemáticos.

A construção de um modelo matemático de um sistema começa com:

  1. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema.Podemos a principio optar por não incorporar todas essa variáveis no modelo.Nesta etapa, estamos especificando o nível de resolução do modelo.
  2. a elaboração de um conjunto de hipóteses razoáveis sobre o sistema que estamos tentando descrever.As hipóteses também incluem algumas leis empíricas que são aplicáveis ao sistema.

A estrutura matemática de todas essas hipóteses, ou o modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema.Porem se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança do sistema.As etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no diagrama da Figura 1.

 

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Figura 1:Diagrama para criar modelos matemáticos

Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explicita.

Um modelo matemático de um sistema físico frequentemente envolve a variável tempo t.Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro.

— 3.1. Crescimento e decrescimento —

O modelo mais simples de crescimento populacional é aquele em que se supõe que a taxa de crescimento de uma população {\frac{dx}{dt}} é proporcional a população presente naquele instante {x(t)},ou seja, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Podemos descrever o problema de encontrar {x(t)} como o problema de valor inicial

\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=kx, \quad x(t_{0})=x_{0}, \quad x=x_{0}e^{kt} \ \ \ \ \ (1)

onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenómenos envolvendo crescimento ou decrescimento

Exemplo 1.Em uma cultura, há inicialmente {P_{0}} bactérias.Uma hora depois, t=1 o numero de bactérias passa a ser {(3/2)P_{0}}.Se a taxa de crescimento é proporcional ao numero de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o numero de bactérias triplique

Solução:Primeiro resolvemos a equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dP}{dt}=kP

sujeita a {P(0)=P_{0}}.Então, usamos a condição empírica {P(1)=(3/2)P_{0}} para determinar a constante de proporcionalidade k.Resolvendo a equação diferencial acima temos:

\displaystyle \int \dfrac{dP}{P}=\int kdt\Rightarrow ln P=kt+c

\displaystyle P=e^{kt+c} \Rightarrow P(t)=ce^{kt}

Em {t=0} concluímos que

\displaystyle P_{0}=ce^{0}=c

assim, teremos:

\displaystyle P(t)=P_{0}e^{kt}

Em {t=1}, temos:

\displaystyle \frac{3}{2}P_{0}=P_{0}e^{kt}\Rightarrow e^{k}=\frac{3}{2}\Rightarrow k=ln (3/2)\Rightarrow k=0,4055

A expressão N(t) é portanto

\displaystyle P(t)=P_{0}e^{0,4055t}

para encontrar o tempo necessário para que o numero de bactérias seja triplicado, resolvemos:

\displaystyle 3P_{0}=P_{0}e^{0,4055t}\Rightarrow t=\dfrac{ln 3}{0,4055}\Rightarrow t=2,71horas

 

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Figura 2:Tempo que o numero de bactérias triplica

Como mostrado na Figura 3, a função exponencial {e^{kt}} cresce com o tempo quando {k>0}, e decresce quando {k<0.}Logo, problemas que descrevem crescimentos, como população, bactéria ou mesmo capital, são caraterizados por um valor positivo de k; por outro lado, problemas, como desintegração radioativa, conduzem a um valor negativo de k.

 

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Figura 3:Crescimento {k>0} e decrescimento {k<0.}

Exemplo 2.A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional á população em qualquer tempo.Sua população inicial de 500 habitantes aumenta {15^{o}/_{o}} em 10 anos.Qual será a população em 30 anos?

Solução:Primeiro resolvemos a equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dP}{dt}=kP, \quad P(0)=500

Resolvendo a equação diferencial acima obtemos:

\displaystyle P(t)=ce^{kt}

Aplicando a condição inicial

\displaystyle P(0)=500

na equação acima temos:

\displaystyle 500=ce^{k0}\Rightarrow c=500

Então,

\displaystyle P(t)=500e^{kt}

sabemos que população inicial de 500 habitantes aumenta {15^{o}/_{o}},ou seja, 75 habitantes em 10 anos,isto quer que depois de 10 anos a cidade tem 575 habitantes.logo,

\displaystyle P(10)=575\Rightarrow 575=500e^{k10}\Rightarrow k=\frac{1}{10}ln 1.15

já temos o valor de k, agora podemos determinar a população em 30 anos:

\displaystyle P(30)=500e^{30(\frac{1}{10}ln 1.15)}\Rightarrow P(30)=760

em 30 anos a cidade terá 760 habitantes.

— 3.2. Resfriamento —

A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura {T(t)} de um corpo em resfriamento é proporcional a diferença entre temperatura do corpo {T} e a temperatura constante {T_{m}} do meio ambiente, isto é:

\displaystyle \dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{m}) \ \ \ \ \ (2)

em que k é uma constante de proporcionalidade.

Exemplo 3.Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF.Tres minutos depois, sua temperatura passa para 200ºF.Quanto tempo levara para sua temperatura chegar a 75graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF?

Solução:Com base a lei de resfriamento de Newton temos:

  • {T_{m}=70^{o}F} é a temperatura do meio ambiente;
  • T é a temperatura do bolo;

Devemos então resolver o problema de valor inicial

\displaystyle \dfrac{dT}{dt}=k(T-T_{m}), \quad T(0)=300^{o}F

e determinar o valor de K para que {T(3)=200^{o}F.}

A equação acima é linear e separável.Separando as variáveis, temos

\displaystyle \dfrac{dT}{T-70}=kdt\Rightarrow ln |T-70|=kt+c_{1}

\displaystyle T-70=e^{kt+c_{1}}\Rightarrow T=70+c_{2}e^{kt}

quando {t=0, \quad T=300}.substituindo na ultima expressão teremos:

\displaystyle 300=70+c_{2}e^{k0}\Rightarrow c_{2}=230

Então,

\displaystyle T=70+230e^{kt}

agora estamos em condições para determinar o valor de k para {T(3)=200}, de modo que teremos

\displaystyle 200=70+230e^{k3}\Rightarrow e^{k3}=\dfrac{130}{230}\Rightarrow k=\frac{1}{3}ln \frac{13}{23}=-0,191018

Então,

\displaystyle T=70+230e^{-0,191018t}

com base a ultima equação estamos em condições para achar o tempo ({t}) que o bolo levara para atingir 75 graus ({T=75}), fazendo:

\displaystyle 75=70+230e^{-0,191018t}\Rightarrow e^{-0,191018t}=\dfrac{75-70}{230}\Rightarrow -0,191018t=ln \dfrac{5}{230}

\displaystyle t=20,13minutos

Exemplo 4.Um termómetro é retirado de dentro de uma sala e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de {5^{0}C}.Após 1 minuto, o termómetro marcava 55ºC; após 5 minutos, 30ºC.Qual é a temperatura da sala? Solução:se

  • {T_{m}=5^{o}C} é a temperatura do ar;
  • {T} é a temperatura da sala;

então:

\displaystyle \dfrac{dT}{dt}=k(T-5) \Rightarrow T=5+c_{2}e^{kt}

se {T(1)=55^{o}C} teremos

\displaystyle 55=5+c_{2}e^{k1}\Rightarrow c_{2}e^{k}=50\Rightarrow c_{2}=50e^{-k}

e se {T(5)=30^{o}C} teremos

\displaystyle 30=5+c_{2}e^{k5}\Rightarrow c_{2}e^{5k}=25

substituindo {c_{2}=50e^{-k}} na ultima expressão teremos

\displaystyle 50e^{-k}e^{5k}=25\Rightarrow e^{4k}=\dfrac{25}{50}\Rightarrow k=-\dfrac{1}{4}ln 2

o valor de {c_{2}} será:

\displaystyle c_{2}=50e^{-k}=50e^{-(-\frac{1}{4}ln 2 )}\Rightarrow c_{2}=59,4611

então,

\displaystyle T=5+59,4611e^{-\frac{1}{4}tln 2}

agora podemos determinar a temperatura da sala no instante inicial, substituindo {t=0} na equação acima,onde:

\displaystyle T(0)=64,4611^{o}C

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