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Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem.Corpos em queda

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— 3.4. Corpos em queda —

Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton.Lembre-se da física elementar que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecera em repouso ou continuara movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele uma força externa.Em cada caso, isso equivale a dizer que quando a soma das forças,isto é, a força resultante, que age sobre sobre o corpo for diferente de zero, essa força resultante será proporcional a aceleração ou mais precisamente:

\displaystyle F=\sum F_{r}=m\cdot a \ \ \ \ \ (1)

onde {m} é a massa do corpo.

Suponha agora que uma pedra seja jogada para acima do topo de um prédio, conforme a figura {1}.

Figura 1:Corpos em queda

Qual é a posição {s(t)} da pedra em relação ao chão no instante {t}?A aceleração da pedra é { \frac{d^{2}s}{dt^{2}}}.1Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma outra força alem da gravidade age sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton

\displaystyle m\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-mg \quad ou \quad \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-g \ \ \ \ \ (2)

Em outras palavras, a força resultante é simplesmente o peso da pedra próximo a superfície da terra,ou seja:

\displaystyle F=F_{1}=-P \ \ \ \ \ (3)

Lembre-se de que a magnitude do peso é {P=m\cdot g}, onde {g} é a aceleração de gravidade.O sinal de subtração foi usado em (2), pois o peso da pedra é uma força dirigida par baixo, oposta a direção positiva.Se a altura do prédio é {s_{0}} e a velocidade inicial da pedra é {v_{0}}, então {s} é determinada, com base no problema de valor inicial de segunda ordem

\displaystyle \frac{d^{2}s}{dt^{2}}=-g, \quad s(0)=s_{0}, \quad s\prime(0)=v_{0} \ \ \ \ \ (4)

Embora não estejamos dando enfaze a resolução das equações obtidas, note que a equação {(4)} pode ser resolvida integrando-se a constante {-g} duas vezes em relação a t.As condições iniciais determinam duas constante de integração.Podemos obter a solução de {(4)} como a fórmula

\displaystyle s(t)=-\dfrac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+s_{0} \ \ \ \ \ (5)

— 3.4.1. Corpos em queda e a resistência do ar —

Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caiam com uma aceleração maior do que a de objetos mais leves, como uma pena.Obviamente, uma bala de canhão e uma pena , quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada.A diferença das taxas é devida a resistência do ar.A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em {(4)}.Sob algumas circunstancias, um corpo em queda com massa {m}, como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea {v}.Se nessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força resultante que age sobre a massa será dada por

\displaystyle F=F_{1}+F_{2}=mg-kv \ \ \ \ \ (6)

onde o peso {F_{1}=mg} do corpo é a força que age na direção positiva e a resistência do ar { F_{2}=-kv } é uma força chamada amortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima.Veja a figura {2}.

Figura 2:Corpos em queda com resistência do ar

Agora, como a velocidade {v} esta relacionado com a aceleração {a} atraves de {a=\frac{dv}{dt}}, a segunda lei de Newton torna-se

\displaystyle F=m\cdot a =m\cdot \frac{dv}{dt} \ \ \ \ \ (7)

substituindo a equação {(6)} em {(7)} obtemos a equação diferencial de primeira ordem para a velocidade {v(t)} do corpo no instante {t}.

\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv \ \ \ \ \ (8)

onde {k} é uma constante de proporcionalidade positiva.

como a velocidade inicial do objeto é {v_{0}}, um modelo para a velocidade do corpo que cai se expressa mediante o problema de com valor inicial:

\displaystyle m\frac{dv}{dt}=mg-kv, \quad v(0)=v_{0} \ \ \ \ \ (9)

a equação {(9)} é uma equação diferencial linear,ao resolvermos, obtemos:

\displaystyle v(t)=\dfrac{mg}{k}+\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m} \ \ \ \ \ (10)

considerando {s=0 } quando {t=0} podemos determinar a equação de movimento do objeto integrando {v=\frac{ds}{dt}} em relação a {t}.Assim obtemos

\displaystyle s(t)=\int v(t)dt=\int\left[\dfrac{mg}{k}+\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m}\right]dt

\displaystyle s(t)=\dfrac{mg}{k}t-\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)e^{-kt/m}+c \ \ \ \ \ (11)

fazendo {s=0 } e {t=0 } teremos

\displaystyle 0=-\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)+c\Rightarrow c=\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)

Substituindo o valor da constante {c} em {(11)} teremos a equação de movimento:

\displaystyle s(t)=\dfrac{mg}{k}t+\dfrac{m}{k}\left(v_{0}-\dfrac{mg}{k}\right)(1-e^{-kt/m}) \ \ \ \ \ (12)

Exemplo 1 Um objeto que pesa {4}N cai desde uma grande altura partindo do repouso.Se o ar exerce uma resistência de {\frac{1}{2}v} N, onde {v} é a velocidade em m/s,figura 3.Achar a velocidade {v(t)} e a distancia percorrida {s(t)} no instante de tempo {t}.

Solução:Consideremos a direção positiva para baixo.

Figura 3:Corpo em queda do exemplo 1

De acordo a segunda Lei de Newton temos:

\displaystyle m\dfrac{dv}{dt}=F_{1}-F_{2}

onde {m=\frac{P}{g}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}, \quad F_{1}=P=4N, \quad F_{2}=\frac{1}{2}v N}

substituindo teremos a equação diferencial

\displaystyle \dfrac{1}{8}\dfrac{dv}{dt}=4-\dfrac{1}{2}v \Rightarrow \dfrac{dv}{dt}=32-4v

separando as variáveis e integrando temos:

\displaystyle \int\dfrac{dv}{8-v}=\int4dt \Rightarrow -\ln(8-v)=4t+C_{1}

usando a condição {v(0)=0,} teremos {C_{1}=-\ln 8}.logo, ao substituir este valor de {C_{1}} e isolando {v} temos:

\displaystyle v(t)=8(1-e^{-4t})

Para achar {s(t)} resolve-se o problema de valor inicial:

\displaystyle v(t)=\dfrac{ds}{dt}=8(1-e^{-4t}); \quad s(0)=0

separando as variáveis e integrando, obtemos:

\displaystyle s(t)=8(t+\dfrac{1}{4}e^{-4t})+C_{0}

usando a condição inicial {s(0)=0}, temos {C_{0}=-2}.Portanto

\displaystyle s(t)=8(t+\dfrac{1}{4}e^{-4t})-2

Exemplo 2 Um objeto que pesa {30}N se deixa cair desde uma altura de {40}m, com uma velocidade inicial de {3m/s}.Suponhamos que a resistência do ar é proporcional a velocidade do corpo.Se sabe que a velocidade limite deve ser de {40m/s}.Encontrar:

  1. a velocidade depois de {8 }segundos;
  2. a expressão para a posição do corpo no instante de tempo {t};

Solução:De acordo a segunda Lei de Newton, temos:

\displaystyle m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv

onde {P=30N \Rightarrow m=\frac{P}{g}=\frac{30}{9,8}\cong 3kg}

temos que {v_{lim}=40 m/s} onde {v_{lim}=\frac{mg}{k}};então:

\displaystyle k=\dfrac{mg}{v_{lim}}=\dfrac{30}{40} \Rightarrow k=\dfrac{3}{4}Ns/m

substituindo esses valores na segunda Lei de Newton temos:

\displaystyle \dfrac{dv}{dt}+\dfrac{1}{4}v=10

resolvendo a equação diferencial linear teremos:

\displaystyle v=C_{1}e^{-t/4}+40

com a condição inicial {v(t)=v_{0}\Rightarrow v(0)=3m/s}, temos:

\displaystyle 3=C_{1}+40 \Rightarrow C_{1}=-37

então, a velocidade em qualquer instante de tempo {t} é:

\displaystyle v=-37e^{-t/4}+40

Para {t=8s} temos:

\displaystyle v(t)=-37e^{-8/4}+40 \Rightarrow v=35m/s

Para encontrar a posição do corpo temos {v=\frac{ds}{dt}}, então:

\displaystyle \dfrac{ds}{dt}=-37e^{-y/4}+40

a equação acima é uma equação de variáveis separáveis, resolvendo teremos como solução:

\displaystyle s(t)=148e^{-t/4}+40t+C_{2}

Aplicando a condição inicial {s(t)=s_{0}\Rightarrow s(0)=0} teremos {C_{2}=-148}

portanto,

\displaystyle s(t)=148e^{-t/4}+40t-148

 

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