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Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem.Misturas

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— 3.5. Misturas —

Fazer uma mistura é um procedimento extremamente rotineiro em nossas vidas. Com certeza, todos nós já fizemos uma ou várias. Uma mistura é constituída por duas ou mais substâncias, sejam elas simples ou compostas. As proporções entre os constituintes de uma mistura podem ser alterados por processos químicos, como a destilação. Todas as substâncias que compartilham um mesmo sistema, portanto, constituem uma mistura. Não se pode, entretanto, confundir misturar com dissolver. Água e óleo, por exemplo, misturam-se mas não se dissolvem. Isso torna o sistema água {+} óleo uma mistura, não uma solução.

Figura 1:Mistura da água e o óleo

A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem.Nos problemas de misturas se deseja calcular a quantidade de uma substancia {Q(t)} que há em um recipiente em qualquer instante {t}.

Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de {V_{0}} litros e {Q_{0}} gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de {q_{e}} litros por minuto possuindo uma concentração de {C_{e}} gramas de sal por litro.Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de {q_{s}} litros por minuto.

A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual a taxa com que entra sal no tanque menos a taxa com que sai sal no tanque.

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}={Taxa \quad de \quad entrada \choose de \quad sal}-{Taxa \quad de \quad saida \choose de \quad sal}

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}=R_{e}-R_{s} \ \ \ \ \ (1)

A taxa com que entra sal no tanque é igual a taxa com que entra a mistura,{q_{e}}, vezes a concentração de entrada, {C_{e}}, ou seja:

\displaystyle R_{e}=q_{e}\cdot C_{e} \ \ \ \ \ (2)

E a taxa com que sai sal do tanque é igual a taxa com que sai a mistura do tanque, {q_{s}}, vezes a concentração de sal que sai do tanque, {C_{s}},ou seja:

\displaystyle R_{s}=q_{s}\cdot C_{s} \ \ \ \ \ (3)

Como a solução é bem misturada a concentração de sal que sai do tanque,{C_{s}}, é igual a concentração de sal no tanque, isto é:

\displaystyle C_{s}=\dfrac{Q}{V} \ \ \ \ \ (4)

onde {V} é o volume no tanque.

Como o volume no tanque, {V}, é igual ao volume inicial,{V_{0}}, somado ao volume que entra no tanque menos o volume que sai do tanque, então:

\displaystyle V=V_{0}+(\vartriangle q)t \ \ \ \ \ (5)

onde {\vartriangle q=q_{e}-q_{s}}

Assim, a quantidade de sal no tanque,{Q}, é a solução do problema de valor inicial

\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=q_{e}C_{e}-q_{s}\dfrac{Q}{V_{0}+(\vartriangle q)t}\\ Q(0)=Q_{0} \end{array}\right. \ \ \ \ \ (6)

Distingue-se os seguintes casos particulares:

  1. {q_{e}=q_{s}}. O volume é constante
  2. {q_{e}>q_{s}}. O volume aumenta
  3. {q_{e}<q_{s}}. O volume diminui

Figura 2:Tanque com uma mistura

Exemplo 1 Em certo tanque ha {180} litros de solução salina que contem 10Kg de sal.Despeja-se água no tanque com uma velocidade de {4} litros por minuto e sai a mistura com velocidade de {3} litros por minuto .A concentração se mantém homogénea.Achar a quantidade de sal depois de meia hora.

Solução:O exemplo nos fornece os seguintes dados

  1. Volume inicial: {V_{0}=180l}
  2. Quantidade de sal: {Q_{0}=10Kg}
  3. Velocidade da agua ao entrar: {q_{e}=4l/min}
  4. Velocidade da agua ao sair:{q_{s}=3l/min}
  5. concentração de sal no inicio:{C_{e}=0}.A água entra sem sal

Se {Q} é a quantidade de sal no tanque em um dado momento.O volume de solução salina em qualquer momento é

\displaystyle V=V_{0}+(q_{e}-q_{s})t

a concentração de sal é:

\displaystyle C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{Q}{V_{0}+(q_{e}-q_{s})t}

a quantidade de sal no tanque, {Q(t)}, é a solução do problema de valor inicial

\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=-q_{s}\dfrac{Q}{V_{0}+(q_{e}-q_{s})t}\\ Q(0)=Q_{0} \end{array}\right. \ \ \ \ \ (7)

\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=-3\dfrac{Q}{180+(4-3)t}\\ Q(0)=10 \end{array}\right. \ \ \ \ \ (8)

A equação {(8) } é linear e pode ser escrita como

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}+3\dfrac{Q}{180+t}=0 \ \ \ \ \ (9)

Um fator integrante é neste caso

\displaystyle \mu (t)=e^{\int \frac{3}{180+t}}dt=e^{3\ln(180+t)}=(180+t)^{3}

multiplicando a equação {(9)} por {\mu (t)} obtemos:

\displaystyle (180+t)^{3}\dfrac{dQ}{dt}+3Q(180+t)^{2}=0 \Rightarrow \dfrac{d}{dt}\left[(180+t)^{3}Q\right]=0

Integrando-se obtemos:

\displaystyle (180+t)^{3}Q=c

ou seja,

\displaystyle Q=\dfrac{c}{(180+t)^{3}}

substituindo {t=0} e {Q=10 \Rightarrow c=58\cdot32\times 10^{6}}

substituindo o valor de {c} encontrado temos:

\displaystyle Q=\dfrac{58\cdot32\times 10^{6}}{(180+t)^{3}}

para {t=30}, a quantidade de sal depois de meia hora será:

\displaystyle Q(30)=6.3 kg

Exemplo 2 Um tanque com a capacidade de {400} litros contem inicialmente {200} litros de uma mistura de sal e agua (salmoura) com {30} gramas de sal dissolvidos.Despeja-se uma solução com {1} grama de sal por litro a uma taxa de {4} litros por minuto; a mistura se mantém uniforme mediante a agitação e do sal a uma taxa de {2} litros por minuto.Calcule a quantidade de gramas de sal no tanque no momento em que começa a transbordar.

Solução: o exemplo nos fornece os seguintes dados:

  1. Volume no tanque:{V=400l}
  2. Volume inicial:{V_{0}=200l}
  3. Quantidade de sal dissolvido:{Q_{0}=30gr}
  4. Concentração de sal que entra:{C_{e}=1gr/l}
  5. Velocidade da solução ao entrar:;{q_{e}=4l/min}
  6. Velocidade da mistura ao sair:{q_{s}=2l/min;}

o objetivo é achar {Q(t_{f})} onde {t_{f}} é o tempo que o tanque leva para encher.Mas primeiro vamos achar a quantidade de sal (em gramas) {Q(t)} no tanque em qualquer instante {t} antes de transbordar.A taxa de variação {Q(t)} é:

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}=R_{e}-R_{s} \ \ \ \ \ (10)

A taxa de entrada {R_{e}} de sal é:

\displaystyle R_{e}=q_{e}C_{e}=4\cdot 1=4gr/min

A taxa de saída {R_{s}} de sal é:

\displaystyle R_{s}=q_{s}C_{s}=2.\dfrac{Q}{V}

onde {V} é volume do tanque no instante {t}.Como no tanque entra {4l/min} e sai {2l/min} o liquido acumulara no tanque uma taxa de:

\displaystyle \vartriangle q=q_{e}-q_{s}=4-2=2l/min

Naturalmente, o tempo que demora a encher o tanque é

\displaystyle t_{f}=\dfrac{\vartriangle V}{\vartriangle q}=\dfrac{200}{2}=100min

mas,

\displaystyle V(t)=V_{0}+(\vartriangle q)t=200+2t=2(100+t)

substituindo {V(t)} na equação da taxa de saída do sal teremos:

\displaystyle R_{s}=q_{s}C_{s}=2.\dfrac{Q}{2(100+t)}=\dfrac{Q}{(100+t)}

ao substituir {R_{e}} e {R_{s}} na equação {(10)} obtemos o seguinte problema de valor inicial

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}=4-\dfrac{Q}{t+100}; \quad Q(0)=30 \ \ \ \ \ (11)

a equação {(11)} é uma equação diferencial linear, e pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}+\dfrac{Q}{t+100}=4

o fator integrante neste caso será:

\displaystyle \mu (x)=e^{\int \frac{dt}{t+100}}=e^{\ln (t+100)}\Rightarrow \mu (x)=(t+100)

multiplicando a equação {(11)} por {\mu (x)}, teremos:

\displaystyle (t+100)\dfrac{dQ}{dt}+(t+100)=4(t+100)\Rightarrow \dfrac{d}{dt}\left[Q(t+100)\right]=4(t+100)

Integrando-se obtemos:

\displaystyle Q(t)=2(t+100)+\dfrac{C}{t+100}

Aplicando a condição inicial {Q(0)=30} obtemos:{C=-17000}. por tanto a solução ao PVI é:

\displaystyle Q(t)=2(t+100)-\dfrac{17000}{t+100}

Para {t_{f}=100, } a quantidade de sal no momento que transborda é

\displaystyle Q(100)=315gramas

 

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