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Equações diferenciais de variáveis separáveis.Exercícios resolvidos

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— 1. Equações diferenciais de variáveis separáveis.Exercícios resolvidos —

Iniciaremos uma serie de artigos com exercícios resolvidos de equações diferenciais.Neste artigo vamos nos concentrar apenas em equações diferenciais de variáveis separáveis o próximo artigo será sobre as equações diferenciais homogéneas.

Exercício 1 Resolver as seguintes equações diferenciais por separação de variáveis

  1. {(xy^{2}-y^{2}+x-1)dx+(x^{2}y-2xy+x^{2}+2y-2x+2)dy=0 }
    Solução:Agrupando, teremos:

    \displaystyle [y^{2}(x-1)+(x-1)]dx+[x^{2}(y+1)-2x(y+1)+2(y+1)]dy=

    \displaystyle (y^{2}+1)(x-1)dx+(x^{2}-2x+2)(y+1)dy=0

    separando as variáveis teremos

    \displaystyle \dfrac{(x-1)dx}{(x^{2}-2x+2)}+\dfrac{(y+1)dy}{(y^{2}+1)}=0

    integrando

    \displaystyle \int\dfrac{(x-1)dx}{(x^{2}-2x+2)}+\int\dfrac{ydy}{(y^{2}+1)}+\int\dfrac{dy}{(y^{2}+1)}=0

    teremos

    \displaystyle \dfrac{1}{2}\ln (x^{2}-2x+2)+\dfrac{1}{2}\ln (y^{2}+1)+\arctan y=C_{1}

    \displaystyle \ln [(x^{2}-2x+2)(y^{2}+1)]+2\arctan y=2C_{1}

    \displaystyle \ln [(x^{2}-2x+2)(y^{2}+1)]=2C_{1}-2\arctan y

    levantando o logaritmo e fazendo {C_{2}=e^{2C_{1}}} teremos

    \displaystyle [(x^{2}-2x+2)(y^{2}+1)]=C_{2}e^{-2\arctan y}

    onde se tem:

    \displaystyle [(x^{2}-2x+2)(y^{2}+1)]e^{2\arctan y}=C_{2}

  2. {\sin 3xdx +2y\cos^{3}3xdy=0 }
    Solução:separando as variáveis teremos

    \displaystyle 2ydy=-\dfrac{\sin 3x}{\cos^{3}3x}dx \Rightarrow 2ydy=-\left(\dfrac{\sin3x}{\cos3x}\right)\left(\dfrac{1}{\cos^{2}3x}\right)

    \displaystyle 2ydy=-\tan3x\sec^{2}3xdx

    integrando obtemos:

    \displaystyle \int2ydy=-\dfrac{1}{6}\int d(\sec^{2}3x)

    \displaystyle y^{2}=-\dfrac{1}{6}\sec^{2}3x+c

  3. {e^{x}y\dfrac{dy}{dx}=e^{-y}+e^{-2x-y}}
    Solução:organizando a equação e separando as variáveis temos:

    \displaystyle e^{x}y\dfrac{dy}{dx}=e^{-y}(1+e^{-2x})\Rightarrow ye^{y}dy=\dfrac{1+e^{-2x}}{e^{x}}dx

    integrando obtemos:

    \displaystyle \int ye^{y}dy=\int (e^{-x}+e^{-3x})dx

    a integral do lado esquerdo resolve-se aplicando integração por partes.

    \displaystyle \int udv=uv-\int vdu

    Supondo que

    \displaystyle u=y \Rightarrow du=dy; \quad dv=e^{y}dy \Rightarrow v=e^{y}

    teremos:

    \displaystyle \int ye^{y}dy=ye^{y}-\int e^{y}dy=ye^{y}-e^{y}

    tendo a integral do lado esquerdo e do lado direito resolvida agora sim podemos dizer que a solução da equação diferencial será:

    \displaystyle ye^{y}-e^{y}=-e^{-x}-\dfrac{1}{3}e^{-3x}+C \Rightarrow ye^{y}-e^{y}+e^{-x}+\dfrac{1}{3}e^{-3x}=C

Exercício 2 Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada.

  1. {(1+x^{4})dy+x(1+4y^{2})dx=0, \quad y(1)=0}
    Solução:separando as variáveis temos:

    \displaystyle \dfrac{dy}{1+4y^{2}}+ \dfrac{xdx}{1+x^{4}}=0\Rightarrow \int \dfrac{dy}{1+(2y)^{2}}+\int \dfrac{xdx}{1+(x^{2})^{2}}=0

    \displaystyle \dfrac{1}{2}\arctan 2y+\dfrac{1}{2}\arctan x^{2}=C\Rightarrow \arctan 2y+\arctan x^{2}=C_{1}

    usando {y(1)=0} obtemos {C_{1}=\frac{\pi}{4}}, então:

    \displaystyle \arctan 2y+\arctan x^{2}=\frac{\pi}{4}

  2. {\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1+y^{3}}{xy^{2}(1+x^{2})}, \quad y(1)=1}
    Solução:Organizando a equação e separando as variáveis teremos:

    \displaystyle xy^{2}(1+x^{2})dy+(1+y^{3})dx=0\Rightarrow \dfrac{y^{2}}{1+y^{3}}dy+\dfrac{1}{x(1+x^{2})}dx=0

    \displaystyle \dfrac{y^{2}}{1+y^{3}}dy+\dfrac{(1+x^{2})-x^{2}}{x(1+x^{2})}dx=0 \Rightarrow \dfrac{y^{2}}{1+y^{3}}dy +\dfrac{dx}{x}-\dfrac{xdx}{1+x^{2}}=0

    integrando temos:

    \displaystyle \dfrac{1}{3}\ln (1+y^{3})+\ln x -\dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})=C

    \displaystyle 2\ln (1+y^{3})+6\ln x -3\ln(1+x^{2})=6C

    \displaystyle \ln \dfrac{x^{6}(1+y^{3})^{2}}{(1+x^{2})^{3}}=6C \Rightarrow \dfrac{x^{6}(1+y^{3})^{2}}{(1+x^{2})^{3}}=e^{6C}

    logo,

    \displaystyle \dfrac{x^{6}(1+y^{3})^{2}}{(1+x^{2})^{3}}=C_{1}

    usando {y(1)=1}, obtemos {C_{1}=\frac{1}{2}} e a solução será:

    \displaystyle \dfrac{x^{6}(1+y^{3})^{2}}{(1+x^{2})^{3}}=\dfrac{1}{2}

  3. {x\cos x=(2y+3e^{3y})y\prime, \quad y(0)=0}
    Solução:

    \displaystyle x\cos x dx=(2y+3e^{3y})dy \Rightarrow \int(2y+3e^{3y})dy=\int x\cos x dx

    a integral do lado esquerdo resolve-se aplicando integração por partes.

    \displaystyle \int udv=uv-\int vdu

    Supondo que

    \displaystyle u=x \Rightarrow du=dx; \quad dv=\cos xdy \Rightarrow v=\sin x

    então,

    \displaystyle \int x\cos x dx=x\sin x-\int \sin x dx=x\sin x+\cos x

    tendo resolvido a integral por partes,agora estamos em condições para apresentar a solução da equação diferencial:

    \displaystyle y^{2}+\dfrac{1}{3}e^{3y}=x\sin x +\cos x +C

    usando {y(0)=0} na equação acima obtemos { C=-\dfrac{2}{3}},nesse caso a solução será:

    \displaystyle y^{2}+\dfrac{1}{3}e^{3y}=x\sin x +\cos x -\dfrac{2}{3}

  4. {y\prime\tan x= a+y, \quad y(\frac{\pi}{3})=a, \quad 0<x<\frac{\pi}{2}}
    Solução:

    \displaystyle \dfrac{dy}{dx}\dfrac{\sin x}{\cos x}= a+y \Rightarrow \dfrac{dy}{ a+y}=\dfrac{\cos x}{\sin x}dx, \quad [ a+y\neq 0]

    \displaystyle \int\dfrac{dy}{ a+y}=\int\dfrac{\cos x}{\sin x}dx \Rightarrow \ln (a+y)=\ln (\sin x)+C

    \displaystyle a+y=e^{\ln (\sin x)+C}=e^{\ln (\sin x)}e^{C}

    aplicando as propriedades de logaritmo e fazendo {C_{1}=e^{C}} temos:

    \displaystyle a+y=C_{1}\sin x

    usando a condição inicial {y(\frac{\pi}{3})=a} obtemos:

    \displaystyle a+a=C_{1}\sin (\frac{\pi}{3}) \Rightarrow 2a=C_{1}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow C_{1}=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}

    então,

    \displaystyle a+y=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}\sin x \Rightarrow y=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}\sin x - a

Exercício 3 Resolva o problema de valor inicial

\displaystyle y\prime=2x\sqrt{1-y^{2}}, \quad y(0)=0

e faça um gráfico.

Solução:

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=2x\sqrt{1-y^{2}} \Rightarrow \dfrac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=2xdx

\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{1-y^{2}}}=\int 2xdx \Rightarrow \arcsin y=x^{2}+C

usando a condição inicial {y(0)=0} obtemos:

\displaystyle \arcsin 0=0 + C \Rightarrow C=0

então:

\displaystyle \arcsin y=x^{2}\Rightarrow y=\sin (x^{2}), \quad -\sqrt{\pi/2}\leq x\leq \sqrt{\pi/2}

Figura 1:Gráfico do exemplo 3

Exercício 4 Encontre a solução da equação diferencial

\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=y^{2}-4

quando se utiliza {\ln C_{1}} como a constante de integração do lado esquerdo da solução e {4\ln C_{1}} substitui-se por {\ln C}.Depois resolve o mesmo problema com o valor inicial {y(\frac{1}{4})=1}

Solução:separando as variáveis teremos:

\displaystyle \dfrac{dy}{y^{2}-4}=dx\Rightarrow \left[\dfrac{\frac{1}{4}}{y-2}-\dfrac{\frac{1}{4}}{y+2}\right]dy=dx

integrando teremos:

\displaystyle \dfrac{1}{4}\ln (y-2)-\dfrac{1}{4}\ln (y+2)+\ln C_{1}=x

substituindo {4\ln C_{1}} por {\ln C} temos:

\displaystyle \ln (y-2)-\ln (y+2)+\ln C=4x\Rightarrow \ln \left[\dfrac{C(y-2)}{y+2}\right]=4x

\displaystyle C\dfrac{y-2}{y+2}=e^{4x} \Rightarrow y=\dfrac{2(C+e^{4x})}{(C-e^{4x})}

aplicando a condição inicial {y(\frac{1}{4})=1}, obtemos:

\displaystyle 1=\dfrac{2\left[ C+e^{4(\frac{1}{4})}\right]}{\left[ C-e^{4(\frac{1}{4})}\right]}\Rightarrow 1=\dfrac{2(C+e)}{(C-e)}

\displaystyle C-e=2C-2e \Rightarrow C=-3e

então a solução será:

\displaystyle y=\dfrac{2(-3e+e^{4x})}{(-3e-e^{4x})}\Rightarrow y=2\dfrac{(3-e^{4x-1})}{(3+e^{4x-1})}

 

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3 comentários

  1. Gelson de Jesus diz:

    Gostei desta resolução, as vezes a separação de variáveis era muito difícil para mim;

    Gostar

  2. clemencio langa diz:

    esto muito grato pelas resolucoes ajudarao muito

    Gostar

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