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Como se forma a imagem numa lente?

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— 2.7.17. Obtenção da imagem de uma lente. Relação objecto-imagem para lente delgada —

Quando observamos a imagem de um objecto atravessar de uma lupa ou luneta, por exemplo, a imagem observada poderá ser maior ou menor do que o tamanho real do objecto. Na realidade, ao movimentarmos esta lente para frente ou para trás, observamos que o tamanho da imagem muda. Esta mudança de tamanho da imagem está associada à três parâmetros principais: distância da lente ao objecto {d}, distância da lente á imagem {d'} e distância focal da lente {f}. Isto é válido para qualquer lente.

Tudo pode ser entendido, se compreendermos como os raios de luz passam pela lente e como se forma a sua imagem.

Como já vimos, qualquer raio que incida paralelamente ao eixo principal de uma lente convergente, ao emergir dela, passará pelo foco imagem. Usando o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, descrito em secções anteriores, podemos afirmar que qualquer raio que incida passando pelo foco objecto, ao emergir da lente, sairá paralelo ao eixo principal. Um raio que incida no centro da lente, passará por ela sem desvio (veja figura 60). Para se formar a imagem de um ponto {Q}, devemos traçar ao menos dois raios que incidam na lente vindos do ponto {Q}. Os raios escolhidos devem ser aqueles cujo raio emergente correspondente já conhecemos. No exemplo, usa-se o raio que incide paralelamente ao eixo principal e o raio que incide passando pelo centro. Após escolhermos estes raios, representamos os raios emergentes correspondentes. Onde os raios emergentes se cruzarem, aí é a imagem real do ponto {Q} que é designado {Q'}. Quando os raios emergentes não se cruzam, para encontrar a imagem procede-se ao prolongamento dos raios emergentes. A intercessão destes prolongamentos será então a imagem virtual {Q'} do ponto {Q}.

Figura 60: Formação da imagem de um objecto numa lente convergente. [5] Adaptado

Para obter a imagem de um objecto extenso {PQ}, é apenas necessário obter a imagem de um conjunto de pontos suficientemente representativo deste objecto. No exemplo se obteve a imagem de dois ponto {P} e {Q}.

O número de ponto a escolher variam de acordo com a complexidade do objecto a analisar.

No caso de formação de imagem de um objecto atravessar de uma lente divergente, o procedimento é idêntico, mas devemos recordar que na lente divergente, o raio que incide paralelamente ao eixo principal, após refratar-se na lente, emerge como se tivesse vindo do foco imagem, e o raio que incide na lente, mas apontado para o foco objecto, após refratar-se, emerge paralelamente ao eixo principal. O raio que incide passando pelo centro de uma lente divergente, tal como na lente convergente, passa sem desvio.

Podemos generalizar algumas situações importantes de formação da imagem. Para lentes convergentes:

  • Quando a distância do objecto real à lente ({d}) é maior que o dobro da distância focal ({d>2f}). Características da imagem: real, invertida em relação ao objecto, menor que o objecto e está situada numa distância superior a distância focal, ou seja, depois do foco imagem {F'}.
  • Quando o objecto está situado entre o foco objecto {F} e o dobro da distância focal ({f<d< 2f}). Características da imagem: real, invertida em relação ao objecto, maior que o objecto e está situada numa distância superior ao dobro da distância focal,tambem depois do foco imagem {F'}.
  • Quando o objecto está situado no plano focal objecto ({d = f}). Neste caso os raios refratados são paralelos e a imagem forma-se no infinito.
  • Quando o objecto está situado entre o centro óptico {0} e o foco objecto {F}. Características da imagem: virtual, direita em relação ao objecto e maior que o objecto.

Para lentes divergentes:

  • Para qualquer situação, as características da imagem são: sempre virtual, direita em relação ao objecto e menor que o objecto.

A equação das lentes delgadas (equação de Gauss) relaciona entre si as grandezas seguintes: a distância {d} do objecto à lente, a distância {d'} da imagem à lente e a distância focal {f} da lente. A equação pode ser deduzida da figura 60.

Os ângulos para os triângulos rectângulos {OPQ} e {OPQ'} são iguais. Logo a sua tangente é {\tan \alpha = \frac{y}{d}=-\frac{y'}{d'}}. o sinal negativo deve-se ao facto de a imagem ser invertida. Neste poderemos obter:

\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{d'}{d} \ \ \ \ \ (65)

 

De modo análogo, no triângulos rectângulos {OAF'} e {F'PQ}, o ângulo {\beta} é igual. Então: {\tan \beta= \frac{y}{f}=-\frac{y'}{d'-f}}. Isto nos dá:

\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{d'-f}{f} \ \ \ \ \ (66)

 

Igualando as equações 65 e 66, separando a fracção, simplificando e isolando a fracção {\frac{1}{f}}, fica:

\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d'} \ \ \ \ \ (67)

 

Esta é a equação que relaciona as distâncias do objecto e da imagem em relação a lente com a sua distância focal.

A partir da relação 65 obtemos a ampliação da imagem formada por uma lente:

\displaystyle k=-\frac{d'}{d} \ \ \ \ \ (68)

 

Estas relações são válidas que para lentes convergentes como para lentes divergentes, desde que se respeite a convenção de sinais.

Convenção de sinais:

  • Se o objecto é real, {d} é positiva: {d> 0}.
  • Se o objecto é virtual, {d} é negativa: {d <0}.
  • Se a imagem é real, {d'} é positiva: {d'> 0 }.
  • Se a imagem é virtual, {d'} é negativa: {d' <0}.
  • Se a lente é convergente, {f } é positiva: {f> 0}
  • Se a lente é divergente, {f } é negativa: {f <0}

Portanto, {d} e {d'} podem ser positivas ou negativas dependendo do facto do objecto e da imagem serem reais ou virtuais.

A ampliação é positiva se a imagem é direita (quer dizer do mesmo sentido que o objecto) e, negativa se a imagem é invertida (quer dizer, de sentido contrário ao objecto).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

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