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Fundamentos de Mecânica Clássica

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— 1. Introdução —

A Física é, acima de tudo, uma ciência exacta e experimental. Assim sendo o seu objectivo deve ser a codificação de um conjuntos de dados experimentais por meio de modelos que permitam uma interpretação dos fenómenos que se decide estudar.

Um facto extraordinário é que a partir da codificação e interpretação de um certo conjunto de dados iniciais por parte de um modelo podemos utilizar esse mesmo modelo para prevermos uma nova classe de fenómenos. É o confronto destas previsões com resultados experimentais que permitirá concluir qual o domínio de validade da teoria construída.

Uma coisa que temos que distinguir desde já é a maneira como a a Física se descobre e a maneira como a Física se apresenta.

O processo de descoberta é errático e muitas vezes altamente não-linear. Do meu ponto de vista o processo de se apresentar a física pode seguir duas rotas diferentes, mas complementares.

A primeira rota é uma que segue de perto o processo histórico de como uma descoberta foi feita, apresentando os seus erros e sucessos de uma forma simplificada e esquemática.

Como exemplo do método anterior temos os cursos normais de electromagnetismo que apresentam os passos experimentais e teóricos que finalmente culminaram nas equações de Maxwell (Na verdade são as equações de Maxwell-Heaviside-Gibbs-Hertz).

O segundo processo de se apresentar a Física é um processo ordenado, consistente, e elegante. Normalmente segue de perto o modo de apresentação da Matemática onde em primeiro lugar se fazem as definições dos termos que entrarão na teoria, depois se enunciam os axiomas/postulados que regem o comportamento dos termos anteriores e finalmente se derivam conclusões sobre a forma de teoremas que explicam e preveem resultados experimentais.

Como exemplo do método anterior temos o excelente livro Mechanics.

Obviamente que cada processo tem as suas vantagens e desvantagens e basicamente é uma questão de gosto/necessidade qual processo é que cada autor segue.

Neste texto a rota seguida será a segunda, mas acho que antes serão necessárias umas quantas palavras iniciais em jeito de justificação.

Em primeiro lugar devo dizer que sou bastante picuinhas relativamente à linguagem que se usa e muitas coisas que são frequentes ler/ouvir de físicos me deixam um bocado enervado.

Essencialmente existe um desleixo relativamente aos termos que se utiliza que não faz sentido nenhum.

  • Leis: O termo Lei aparece muito em Física e tem dois significados diferentes. Às vezes usa-se como um sinónimo do termo Axioma (As Leis de Newton) e às vezes utiliza-se como um sinónimo do termo Teorema (Lei da conservação da energia). Uma vez que Axioma e Teorema são duas palavras cujo sentido é radicalmente diferente tal costume parece-me ser despropositado.Das poucas vezes que utilizar a palavra Lei será sempre como um resultado que se demonstra e utilizarei os termos Postulado e Teorema com os seus sentidos usuais.
  • Princípio. Para dizer a verdade nunca sei bem o que as pessoas querem dizer com isso, mas parece-me ser mais ou menos semelhante a Postulado mas com conotações filosóficas/metafísicas baratas. Talvez esteja enganado, mas seja como for esse disparate de se dizer Princípio muito raramente irá ocorrer nos meus posts (a não ser que tenha mesmo que ser).Em jeito de comentário quero só dizer que o muito badalado Princípio da Incerteza não é um princípio. De acordos com os postulados usuais da Mecânica Quântica este é um resultado facilmente demonstrável e como tal uma melhor denominação seria Desigualdade de Heisenberg.Sim podemos construir uma axiomática da Mecânica Quântica em que o resultado anterior é uma das suposições iniciais da teoria e outra coisa qualquer passaria a ser deduzida, mas neste caso o que teríamos seria o Postulado da Incerteza e nunca o Princípio da Incerteza.

A diatribe atrás apresentada pode não parecer mas tem de facto um objectivo: pretende clarificar a linguagem não usual que vou utilizar ao longo deste texto.

— 2. Fundamentos da Mecânica —

Após as considerações iniciais atrás apresentadas penso que é chegado ao momento de abordar o que este post se propõe a discutir, mas antes de mais é necessário fazer uma pequena introdução e definir os termos que fazem parte da Mecânica.

— 2.1. Definições Preliminares —

É objectivo da Mecânica descrever e explicar os movimentos observados. Como tal iremos em primeiro lugar definir as grandezas que construirão os conceitos necessários para tal.

Todas as grandezas mecânicas podem ser expressas em unidades que derivam das unidades das três grandezas seguintes:

  • Comprimento que se representa pela letra {L}.
  • Tempo que se representa pela letra {T}.
  • Massa que se representa pela letra {M}. Na mecânica clássica a massa de um corpo é uma indicação da sua resistência a alterar o seu estado de movimento. Esta característica tem o nome de inércia.

As unidades que utilizámos para expressar estas grandezas não têm nada de essencial e são puramente convencionais. Nos cursos de Física é usual utilizar-se o Sistema Internacional o que permite uma coerência que é muito bem vinda, mas por outro lado quando prosseguimos nos nossos estudos da Física vemos que essa coerência nem sempre faz sentido.

De modo a podemos descrever o movimento de uma partícula material devemos introduzir o conceito de referencial.

Definição 1 Um referencial é um conjunto de eixos que permitem representar os graus de liberdade do sistema em estudo e um ponto arbitrário que serve como origem.

Convém dizer que embora seja prático utilizarmos referencias em que os eixos em questão sejam ortogonais entre si nada nos obriga, em princípio, a fazê-lo.

Para além disso existe uma classe de referenciais que é muito útil para nós. Estes referenciais têm o nome de referenciais inerciais e como iremos ver adiante é neste tipo de referencias que os Axiomas do movimento têm a sua forma mais simples.

Definição 2 Um referencial diz-se inercial quando possui as seguintes propriedades:

  • Espaço é homogéneo (todos os pontos são equivalentes) e isotrópico (não existem direcções privilegiadas).
  • Tempo é homogéneo (todos os instantes de tempo são equivalentes).

Para podermos estudar e descrever o movimento de uma partícula devemos antes de mais clarificar o que queremos dizer com o termo posição.

Definição 3 Posição é o lugar geométrico que a partícula ocupa num dado instante de tempo num referencial.

Ou seja após escolhermos um referencial devemos em primeiro lugar marcar a posição que a partícula ocupa num instante de tempo.

Se seguirmos este procedimento para um intervalo de tempo teremos a trajectória da partícula.

Definição 4 Trajectória é o lugar geométrico das sucessivas posições que a partícula ocupa num intervalo de tempo.

Cabe-nos agora introduzir um ouro conceito. Já sabemos o que é posição, e sabemos também que a trajectória está relacionada com a variação da posição para um dado intervalo de tempo. No entanto convém precisarmos o que é esta variação da posição recorrendo ao conceito seguinte:

Definição 5 Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de uma partícula. Normalmente representamos o deslocamento através do símbolo {\Delta \vec{x}=\vec{x_f}-\vec{x_i}}.

Sabemos pela experiência que os corpos se deslocam percorrendo deslocamentos diferentes em intervalos de tempo diferentes. O conceito que relaciona a variação da posição de uma partícula com o intervalo de tempo necessário para essa variação ocorrer é chamado de velocidade. Mas em física convém sermos mais rigorosos e definirmos dois tipos diferentes de velocidade.

Definição 6 Velocidade média: grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da posição para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{v}_m=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (1)

Definição 7 Velocidade instantânea: grandeza vectorial que permite calcular a variação da posição para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (2)

Uma vez que a velocidade das partículas também varia podemos introduzir as seguintes definições:

Definição 8 Aceleração média: grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da velocidade para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{a}_m=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (3)

Definição 9 Aceleração instantânea: grandeza vectorial que permite calcular a variação da velocidade para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} \ \ \ \ \ (4)

Convém ainda dizer que normalmente diz-se apenas velocidade (aceleração) em vez de velocidade instantânea (aceleração instantânea).

Associado ao conceito de velocidade temos dois conceitos físicos. Um deles escalar, e portanto fornece menos informação sobre o movimento da partícula, e o outro vectorial.

Definição 10 Energia cinética: energia associada ao movimento de uma partícula e defini-se como sendo:

\displaystyle K=\dfrac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \ \ \ \ \ (5)

Definição 11 Momento linear: grandeza vectorial associada ao movimento de uma partícula.

\displaystyle \vec{p}=m \vec{v}=m \dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (6)

Vemos então o porquê da afirmação da energia cinética conter menos informação sobre o movimento da partícula do que o movimento linear. Pela sua definição a energia cinética não nos dá informação sobre a direcção da velocidade da partícula enquanto que o momento linear nos diz tanto a direcção e a magnitude da velocidade.

Em termos mais prosaicos: o momento linear diz para onde vai a partícula e com que velocidade vai. A energia cinética apenas nos diz com que velocidade vai a partícula.

— 3. Axiomas de Newton —

Até ao momento temos os intervenientes da nossa peça mas ainda não temos as regras que deverão guiar as suas interacções. Estas regras são dadas pelos três Axiomas de Newton.

Na verdade é claro que Newton não escreveu as suas Leis com a terminologia que vou utilizar e podemos até dizer que o segundo Axioma de Newton é na verdade um misto do Axioma de Euler e do Axioma de Newton.

Axioma 1 Existe um referencial inercial onde o momento linear de uma partícula livre mantém sempre o mesmo valor.

Este enunciado não é o que habitualmente se apresenta como a Primeira Lei de Newton. Convém então dar uma explicação do porquê da forma deste enunciado.

Anteriormente definimos um referencial inercial, mas a definição que demos é de carácter puramente matemático. Nada neste mundo implica a existência da estrutura matemática que definimos e a função da Primeira Lei de Newton é exactamente estipular a existência de um tal referencial no mundo em que habitamos.

A justificação desta arrojada hipótese é o espectacular acerto das previsões que a teoria de Newton faz e os resultados obtidos em experiências.

De notar que o habitual enunciado da Primeira Lei de Newton está errado em referenciais não inerciais. Uma vez que o habitual enunciado não especifica a que tipo de referencial se refere também ele está, consequentemente, errado.

Outro pormenor interessante é que o Axioma 1 apenas exige a existência de um referencial inercial, mas podemos concluir que existe um número infinito de referenciais inercias.

Sabemos que num referencial inercial o espaço é homogéneo e isotrópico e que o tempo é homogéneo. Assim sendo o ponto que escolhemos como origem nada tem de especial e podemos efectuar uma translação para um outro ponto qualquer e passar a considerar esse novo ponto como sendo a origem de um novo referencial inercial.

Para além disso podemos rodar todos os nossos eixos em simultâneo e obter novos eixos. Estes novos eixos apenas se distinguem dos antigos por terem novas direcções. Uma vez que o espaço é isotrópico tal facto não acarreta nada de novo e assim este novo referencial continua a ser inercial.

Outra transformação que podemos fazer é obter um referencial que se mova com velocidade constante relativamente ao primeiro referencial. Novamente este situação nada tem de novo e os referenciais continuam a ser equivalentes.

Uma vez que o tempo é homogéneo o instante de tempo que se convencionou ser {0} nada tem de especial. Ou seja um referencial que se obtém de um referencial inercial, alterando o que se considera como sendo o instante inicial, também é um referencial inercial.

Para finalizar temos ainda que dizer que qualquer composição destas transformações também produz um referencial inercial.

As quatro transformações anteriores recebem o nome de transformações de Galileu e no seu conjunto formam um grupo.

Axioma 2 Se o momento linear de uma partícula varia num referencial inercial diz-se que essa partícula foi actuada por uma força, {\vec{F}}, que se calcula utilizando a seguinte expressão: {\vec{F}= \dfrac{d\vec{p}}{dt}}.

Este axioma reduz-se a {\vec{F}=m\vec{a}} quando a massa da partícula é constante.

Este axioma pode funcionar como uma definição do conceito Força e para além disso permite-nos prever e explicar o comportamento de uma partícula de massa {m} quando sujeita a uma força {\vec{F}}.

Para além disso com recurso a este axioma podemos dar uma definição rigorosa do conceito de massa.

Axioma 3 Quando dois objectos interagem entre si a força {\vec{F}_{12}} (força que o objecto 1 exerce sobre o objecto 2) tem a mesma direcção, é igual em intensidade à força {\vec{F}_{21}} (força que o objecto 2 exerce sobre o objecto 1), mas tem o sentido oposto. {\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}}

Este axioma é do meu ponto de vista o Axioma de Newton com o conteúdo mais fraco.

Acho que por questões de simplicidade Newton assumiu que as forças de interacçao deveriam ser sempre aos pares e ter a direcção do vector que une as duas partículas.

No entanto hoje em dia sabemos que nem sempre estas duas assunções são válidas. Seja como for o domínio de válido desta hipótese é suficientemente válido para atestar o sucesso retumbante do corpo de conhecimento estabelecido por Newton.

 

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